流体力学・連続体の問題

間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（$x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{dp}{dx}=-G$（$G>0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y=0$、上の板の面を $y=h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=-G$$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。

板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q={\int }_0^{h}udy$ を、$G,h,\mu$ を用いて表せ。

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

断面積 $A=0.50{\mathrm{m}}^2$ の直円柱形の水槽が鉛直に置かれ、上面は大気に開いている。はじめ水深は $H=1.8\mathrm{m}$ で、時刻 $t=0$ に底面にある断面積 $a=5.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ の小孔を開いて水を大気中に流出させる。水深が $h$ のときの小孔からの流出速度はトリチェリの定理 $v=\sqrt{2gh}$ で与えられるとし（準定常近似）、流出する噴流の断面積は小孔の断面積 $a$ に等しいとする。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水の粘性と縮流は無視する。

水槽が空になるまでの時間は何 s か。根号を含む正確な値で求めよ。