流体力学・連続体の問題

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b=2.0\mathrm{m}$、高さ $a=3.0\mathrm{m}$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0\mathrm{m}$ の位置にあり、下端は深さ $4.0\mathrm{m}$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $\rho$、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_G=\frac{b{a}^3}{12}$ である。

水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_P$ は何 m か。小数で求めよ。

長さ $l=20\mathrm{m}$、幅 $B=6.0\mathrm{m}$ の直方体の箱形はしけが、静水に底面を水平にして浮かんでおり、喫水（水面から底面までの深さ）は $d=1.0\mathrm{m}$ である。積み荷を含めたはしけ全体の重心 G は、幅と長さの中央で、底面から高さ $1.5\mathrm{m}$ の位置にある。はしけが長さ方向の軸のまわりにわずかに傾く（横揺れする）場合を考える。喫水面（水面で切ったはしけの断面）の、長さ方向の中心軸のまわりの断面二次モーメントは $I=\frac{l{B}^3}{12}$ である。

この横揺れに対するメタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}$ は何 m か。整数で求めよ。

落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a=1.0\mathrm{mm}$、密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}=7.80\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.26\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120\mathrm{m}$ の距離を $10.0\mathrm{s}$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$\mu$ は液体の粘性率、$v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この液体の粘性率 $\mu$ は何 $\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

断面積 $A=0.50{\mathrm{m}}^2$ の直円柱形の水槽が鉛直に置かれ、上面は大気に開いている。はじめ水深は $H=1.8\mathrm{m}$ で、時刻 $t=0$ に底面にある断面積 $a=5.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ の小孔を開いて水を大気中に流出させる。水深が $h$ のときの小孔からの流出速度はトリチェリの定理 $v=\sqrt{2gh}$ で与えられるとし（準定常近似）、流出する噴流の断面積は小孔の断面積 $a$ に等しいとする。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水の粘性と縮流は無視する。

水槽が空になるまでの時間は何 s か。根号を含む正確な値で求めよ。