流体力学・連続体の問題

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b=2.0\mathrm{m}$、高さ $a=3.0\mathrm{m}$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0\mathrm{m}$ の位置にあり、下端は深さ $4.0\mathrm{m}$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $\rho$、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_G=\frac{b{a}^3}{12}$ である。

水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_P$ は何 m か。小数で求めよ。

断面が一辺 $b$ の正方形で、長さ $L(\gg b)$ の一様な角柱が、密度 ${\rho }_0$ の静止した水に、長さ方向を水平にし、正方形断面の 1 辺が水面と平行になる姿勢（底面が水平）で浮かんでいる。角柱の密度は $\rho =s{\rho }_0$（$0<s<\frac{1}{2}$）である。

角柱を長さ方向の軸のまわりにわずかに傾けたとき（微小な横揺れ）、この姿勢がもとに戻る向きの復元モーメントを受ける（安定である）ための条件は、メタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}=\overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{BG}}$ が正であることである。ここで G は角柱の重心、B は浮心（水面下の部分の図心）、M はメタセンタで、$\overline{\mathrm{BM}}=\frac{I}{V}$（$I$ は喫水面（水面で切った角柱の断面）の、長さ方向の中心線のまわりの断面二次モーメント、$V$ は水面下の部分の体積）である。

この姿勢が安定であるような $s$ の範囲は $0<s<s_{\mathrm{c}}$ と表される。$s_{\mathrm{c}}$ を正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、水は静止しており、端の効果は無視する。

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

長さ $L=100\mathrm{m}$ の一様な断面をもつ鋼の棒（線材）の上端を天井に固定し、鉛直につり下げた。棒の下端には何もつけず、棒は自重だけで静止している。鋼の密度を $\rho =7.8\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、縦弾性係数を $E=2.0\times 10^{11}\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。変形は微小で弾性範囲内にあり、各断面の応力は断面内で一様な単軸応力とみなす。

自重による棒全体の伸びは何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。