メタセンタと浮体の安定性

浮心 B と重心 G の位置、喫水面の断面二次モーメント $I$ と排水体積 $V$ から $BM = \frac{I}{V}$ 、メタセンタ高さ $GM = BM - BG$ を求め、角柱・円柱などの浮体が横揺れに対して安定である条件（密度比の範囲など）を求められる

前提

アルキメデスの原理と浮体のつり合い（大学物理流体力学・連続体）
断面二次モーメントと断面係数（大学物理材料力学）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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説明

水に浮かんでつり合っている物体（浮体）を少し傾けたとき、元に戻ろうとするか、そのままひっくり返るかを判定できるようになります。傾けると浮心 B が移動し、そこを通る浮力の作用線が浮体の中心線と交わる点をメタセンタ M と呼びます。浮心から M までの距離は $BM = \frac{I}{V}$ （ $I$ : 喫水面の断面二次モーメント、 $V$ : 排水体積）で求まり、メタセンタ高さ $GM = BM - BG$ が正なら安定です。船の設計や、角柱・円柱の浮き方の判定（密度比がどの範囲なら横倒しにならないか）に使います。

なぜそうしてよいのか

浮体がつり合っているとき、重心 G と浮心 B（押しのけた液体の重心）は同じ鉛直線（中心線）の上にあります。これを小さな角 $φ$ （ラジアン）だけ横に傾けます。重さは変わらないので排水体積 $V$ も変わらず、喫水面（水面で切った浮体の断面）の図心を通る軸のまわりに回るとみなせます。すると、片側では水面上に出ていた部分がくさび形に沈み、反対側では同じ体積のくさびが水面上に出ます。

喫水面の上で、回転軸から距離 $y$ の位置の小さな面積 $d A$ を考えると、その真上（真下）に沈む（浮き上がる）柱の高さは約 $y φ$ 、体積は $y φ d A$ です。押しのけた体積の重心が水平にどれだけ動くかは「体積 × 距離」の和で決まり、くさびの出入りによる変化は $\int y \cdot y φ d A = φ I$ （ $I = \int y^{2} d A$ は喫水面の、回転軸のまわりの断面二次モーメント）。これを全体積 $V$ で割ると、浮心の水平移動量は $\frac{φ I}{V}$ です。新しい浮心を通る鉛直線（浮力の作用線）と元の中心線の交点が M で、小さな角では $BM \cdot φ = \frac{φ I}{V}$ より $BM = \frac{I}{V}$ となります。

傾いた浮体には、G を通る重力と、M を通る浮力（大きさ $ρ_{f} g V$ ）が働きます。M が G より上にあれば、この 2 力の偶力は傾きを戻す向きで、モーメントの大きさは $ρ_{f} g V \cdot GM sin φ$ 。M が G より下なら傾きを大きくする向きになります。したがって $GM = BM - BG > 0$ （G が B より上にあるときの $BG$ を正とする）が安定の条件、 $= 0$ は中立、 $< 0$ は不安定です。

手順

浮体の重さと浮力のつり合いから喫水 $d$ と排水体積 $V$ を求める
底面からの浮心の高さ $z_{B}$ （沈んだ部分の図心、角柱なら $\frac{d}{2}$ ）と重心の高さ $z_{G}$ を求め、 $BG = z_{G} - z_{B}$ とする
喫水面（水面で切った断面）の、傾ける軸（喫水面の図心を通り、傾きの回転軸に平行な線）のまわりの断面二次モーメント $I$ を求める（幅 $b$ ・長さ $ℓ$ の長方形を幅方向に傾けるなら $\frac{ℓ b ^{3}}{12}$ 、直径 $D$ の円なら $\frac{π D ^{4}}{64}$ ）
$BM = \frac{I}{V}$ を計算する
$GM = BM - BG$ を求め、 $GM > 0$ なら安定。条件を求めるときは $GM > 0$ を密度比などの不等式として解く

例題

断面が一辺 $b$ の正方形で、長さ $ℓ$ （ $ℓ$ は $b$ より十分長い）の一様な角柱が、長さの方向を水平にし、正方形の一辺を底面として水平にして水に浮いている。角柱の密度と水の密度の比を $s$ （ $0 < s < 1$ ）とする。長さ方向の軸のまわりの小さな横揺れに対して、この浮き方が安定（メタセンタ高さ $GM > 0$ ）となる $s$ の範囲を求めよ。

例題の解答

手順 1: 喫水を $d$ とすると、つり合い $s ρ_{f} g b^{2} ℓ = ρ_{f} g b d ℓ$ より $d = s b$ 。排水体積は $V = b ℓ d = s b^{2} ℓ$ 。

手順 2: 底面から測って、浮心は沈んだ直方体の中心で $z_{B} = \frac{d}{2} = \frac{s b}{2}$ 、重心は $z_{G} = \frac{b}{2}$ 。よって $BG = \frac{b}{2} - \frac{s b}{2} = \frac{( 1 - s ) b}{2}$ 。

手順 3: 喫水面は幅 $b$ 、長さ $ℓ$ の長方形で、長さ方向の軸のまわりに傾けるので
$I = \frac{ℓ b ^{3}}{12} .$

手順 4:
$BM = \frac{I}{V} = \frac{ℓ b ^{3} /12}{s b ^{2} ℓ} = \frac{b}{12 s} .$

手順 5:
$GM = \frac{b}{12 s} - \frac{( 1 - s ) b}{2} > 0.$
両辺に $12 s / b > 0$ を掛けて $1 - 6 s (1 - s) > 0$ 、つまり $6 s^{2} - 6 s + 1 > 0$ 。 $6 s^{2} - 6 s + 1 = 0$ の解は $s = \frac{3 \pm 3}{6}$ で、2 次関数は下に凸なので、解の外側で正になる。 $0 < s < 1$ と合わせて
$0 < s < \frac{3 - 3}{6}, \frac{3 + 3}{6} < s < 1.$
（ $\frac{3 - 3}{6} \approx 0.211$ 、 $\frac{3 + 3}{6} \approx 0.789$ 。中くらいの密度の角柱はこの向きでは不安定で、角を下にした向きなどに傾く。）

答え: $(0, \frac{3 - 3}{6}) \cup (\frac{3 + 3}{6}, 1)$

よくある誤り

$BM = \frac{I}{V}$ の $I$ に、浮体全体の断面や沈んだ部分の側面の断面二次モーメントを使ってしまう誤り。正しくは水面で切った断面（喫水面）の、傾きの回転軸に平行で図心を通る軸のまわりの値で、例題では $\frac{ℓ b ^{3}}{12}$ （ $\frac{b d ^{3}}{12}$ などではない）
重心が浮心より上にあれば必ず不安定としてしまう誤り。正しくは比べるのは G と B ではなく G と M で、 $GM = BM - BG > 0$ なら G が B より上でも安定（例題で $s = 0.1$ なら $BG = 0.45 b > 0$ だが $BM = \frac{b}{1.2} \approx 0.83 b$ で安定）
長い棒や船で、回転軸の向きを取り違えて $I = \frac{b ℓ ^{3}}{12}$ を使ってしまう誤り。横揺れ（長さ方向の軸のまわりの回転）では、正しくは回転軸から測った距離が幅方向なので $I = \frac{ℓ b ^{3}}{12}$
$6 s^{2} - 6 s + 1 > 0$ を解の間 $\frac{3 - 3}{6} < s < \frac{3 + 3}{6}$ としてしまう誤り。正しくは係数が正の 2 次関数が正になるのは解の外側で、さらに浮く条件 $0 < s < 1$ と合わせる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $l = 20 m$ 、幅 $B = 6.0 m$ の直方体の箱形はしけが、静水に底面を水平にして浮かんでおり、喫水（水面から底面までの深さ）は $d = 1.0 m$ である。積み荷を含めたはしけ全体の重心 G は、幅と長さの中央で、底面から高さ $1.5 m$ の位置にある。はしけが長さ方向の軸のまわりにわずかに傾く（横揺れする）場合を考える。喫水面（水面で切ったはしけの断面）の、長さ方向の中心軸のまわりの断面二次モーメントは $I = \frac{l B ^{3}}{12}$ である。
この横揺れに対するメタセンタ高さ $GM$ は何 m か。整数で求めよ。

メタセンタと浮体の安定性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題