断面二次モーメントと断面係数

$I = \int y^{2} d A$ を計算して長方形 $\frac{b h ^{3}}{12}$ ・円 $\frac{π d ^{4}}{64}$ などの断面二次モーメントと断面係数 $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ （長方形で $\frac{b h ^{2}}{6}$ 、円で $\frac{π d ^{3}}{32}$ ）を求め、平行軸の定理で組み合わせ断面の値を求められる

前提

定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

説明

はりが曲げられたとき、どれだけ曲がりにくいか・どれだけ大きな応力が生じるかは、材料だけでなく断面の形で大きく変わります。その「形による曲がりにくさ」を表す量が断面二次モーメント $I$ で、断面の最も外側に生じる応力を求めるのに使う量が断面係数 $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ です。この技能では、積分 $I = \int y^{2} d A$ から長方形や円の $I$ ・ $Z$ を求め、さらに平行軸の定理を使って、長方形を組み合わせた断面（T 形・I 形など）の $I$ を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

断面の中に、曲げの中心となる水平な軸（図心を通る軸。図心とは、その軸から測った距離 $y$ について $\int y d A = 0$ となる点で、断面の「重心」にあたる）をとります。はりが曲がると、軸から距離 $y$ の位置の材料は $y$ に比例して伸び縮みし、そこに生じる力も $y$ に比例します。その力が軸のまわりに生むモーメントは「力 × 腕の長さ」なので $y \times y = y^{2}$ に比例します。そこで断面を面積 $d A$ の小さな部分に分け、 $y^{2} d A$ を全体で足し合わせた $I = \int y^{2} d A$ が、同じ曲がり方に対して断面が返すモーメントの大きさ、つまり曲がりにくさの指標になります。軸から遠い材料ほど $y^{2}$ で効くので、同じ面積でも上下に広げた断面のほうが曲がりにくくなります。

幅 $b$ ・高さ $h$ の長方形で、図心を通り底辺に平行な軸から $y$ と $y + d y$ の間の細い帯をとると $d A = b d y$ なので
$I = \int_{- h /2}^{h /2} y^{2} b d y = b [\frac{y ^{3}}{3}]_{- h /2}^{h /2} = \frac{b h ^{3}}{12}$
となります。直径 $d$ （半径 $R = d /2$ ）の円では、中心から距離 $r$ と $r + d r$ の間の細い輪（面積 $2 π r d r$ ）を考えると、 $J = \int r^{2} d A = \int_{0}^{R} r^{2} \cdot 2 π r d r = \frac{π R ^{4}}{2}$ です。断面内の点の座標を $(x, y)$ とすると $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ なので $J = \int x^{2} d A + \int y^{2} d A$ で、円は縦横が同じ形だから 2 つの積分は等しく、 $I = \frac{J}{2} = \frac{π R ^{4}}{4} = \frac{π d ^{4}}{64}$ となります。断面係数は、軸から最も遠い点までの距離 $y_{m a x}$ で割って、長方形では $y_{m a x} = \frac{h}{2}$ から $Z = \frac{b h ^{2}}{6}$ 、円では $y_{m a x} = \frac{d}{2}$ から $Z = \frac{π d ^{3}}{32}$ です。

図心を通る軸のまわりの値 $I_{G}$ がわかっていれば、それと平行で距離 $e$ だけ離れた軸のまわりの値は、 $y = y^{'} + e$ （ $y^{'}$ は図心軸から測った距離）とおいて
$I = \int (y^{'} + e)^{2} d A = \int y^{'2} d A + 2 e \int y^{'} d A + e^{2} \int d A = I_{G} + A e^{2}$
となります（真ん中の項は図心の定義から 0）。これが平行軸の定理です。組み合わせ断面では、全体の図心軸を求め、各部分の「自分の図心軸まわりの $I$ + 面積 × (図心間距離) $^{2}$ 」を足せば全体の $I$ が得られます。

手順

断面全体の図心の位置を求め、曲げの軸（図心を通る軸）を決める。組み合わせ断面では、各部分の面積 $A_{i}$ と図心の高さ $y_{i}$ から $y ˉ = \frac{\sum A _{i} y _{i}}{\sum A _{i}}$ とする。
各部分の、自分の図心を通る軸まわりの断面二次モーメントを求める。長方形なら $\frac{b h ^{3}}{12}$ （ $h$ は軸に垂直な方向の長さ）、円なら $\frac{π d ^{4}}{64}$ 。基本形でないときは $I = \int y^{2} d A$ を細い帯に分けて積分する。
平行軸の定理で各部分の値を全体の図心軸まわりに移す: $I_{i} = I_{G, i} + A_{i} e_{i}^{2}$ （ $e_{i}$ は部分の図心と全体の図心軸との距離）。
すべての部分の $I_{i}$ を足して全体の $I$ を得る（穴の部分は引く）。
全体の図心軸から断面の最も遠い点までの距離 $y_{m a x}$ を求め、断面係数 $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ を計算する。

例題

幅 $b = 40 mm$ 、高さ $h = 60 mm$ の長方形断面のはりがある。高さ方向に曲げを受けるとき（曲げの軸は図心を通り幅の方向に平行な軸）、この断面の断面係数 $Z$ は何 $mm^{3}$ か。整数で求めよ。

例題の解答

【手順 1】長方形の図心は中心にあるので、曲げの軸は高さの中央を通り幅の方向に平行な軸である。

【手順 2】軸から $y$ の位置にある幅 $b$ 、厚さ $d y$ の帯の面積は $d A = b d y$ なので
$I = \int_{- 30}^{30} y^{2} \cdot 40 d y = 40 [\frac{y ^{3}}{3}]_{- 30}^{30} = 40 \cdot \frac{2 \cdot 27000}{3} = 720000 mm^{4}$
これは $\frac{b h ^{3}}{12} = \frac{40 \cdot 6 0 ^{3}}{12} = 720000$ と一致する。

【手順 3・4】断面は 1 つの長方形で、その図心軸がそのまま曲げの軸なので、平行軸の定理による移動や足し合わせは不要である。

【手順 5】軸から最も遠い点は上端・下端で $y_{m a x} = \frac{h}{2} = 30 mm$ 。よって
$Z = \frac{I}{y _{m a x}} = \frac{720000}{30} = 24000 mm^{3}$
（ $\frac{b h ^{2}}{6} = \frac{40 \cdot 3600}{6} = 24000$ とも一致する。）

答え: $24000$

よくある誤り

長方形の $\frac{b h ^{3}}{12}$ で $b$ と $h$ を取り違える誤り。上の例で $\frac{60 \cdot 4 0 ^{3}}{12} = 320000$ としてしまう。正しくは 3 乗するのは曲げの軸に垂直な方向の長さで、 $\frac{40 \cdot 6 0 ^{3}}{12} = 720000 mm^{4}$ 。
平行軸の定理を、図心を通らない軸どうしの間で使ってしまう誤り。長方形の底辺まわりの値 $\frac{b h ^{3}}{3}$ から上辺まわりの値を $\frac{b h ^{3}}{3} + bh \cdot h^{2}$ としてしまう。正しくは $I = I_{G} + A e^{2}$ の $I_{G}$ は必ず図心軸まわりの値で、上辺まわりは $\frac{b h ^{3}}{12} + bh (\frac{h}{2})^{2} = \frac{b h ^{3}}{3}$ 。
組み合わせ断面の断面係数を、各部分の断面係数の和としてしまう誤り。例えば $Z = \frac{b _{1} h _{1}^{2}}{6} + \frac{b _{2} h _{2}^{2}}{6}$ とする。正しくは先に全体の $I = \sum (I_{G, i} + A_{i} e_{i}^{2})$ を求め、全体の図心軸からの $y_{m a x}$ で割って $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ とする。
円の断面二次モーメントを、中心まわりの $\int r^{2} d A = \frac{π d ^{4}}{32}$ のまま使ってしまう誤り。正しくは直径を軸とする曲げでは $\int y^{2} d A$ を使い、その半分の $I = \frac{π d ^{4}}{64}$ 、断面係数は $Z = \frac{π d ^{3}}{32}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
幅 $b = 30 mm$ 、高さ $h = 60 mm$ の長方形断面をもつはりがある。高さの方向に曲げを受けるとし、中立軸は断面の図心を通り幅の方向（水平）に平行な軸とする。
この中立軸に関する断面係数 $Z$ は何 $m m^{3}$ か。整数で答えよ。
中立軸 $b = 30 mm$ $h = 60 mm$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

はりの曲げ応力（大学物理材料力学）
丸軸のねじり応力とねじれ角（大学物理材料力学）
平面に働く全圧力と圧力中心（大学物理流体力学・連続体）
メタセンタと浮体の安定性（大学物理流体力学・連続体）