材料力学の問題

鉛直面内にある 3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ からなる三角形のトラスがある。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、節点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にあり、$\angle \mathrm{CAB}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$、部材 $\mathrm{AC}$ の長さは $L$ である。節点 $\mathrm{A}$ は固定したピン支点、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。

3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P$ を加え、$P$ を $0$ から徐々に大きくしていく。

部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 $P$ を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとって次のように定める（$a>0$）。
$$\mathrm{A}(0,0),\mathrm{C}(a,0),\mathrm{D}(2a,0),\mathrm{B}(3a,0),\mathrm{E}(a,a),\mathrm{F}(2a,a)$$
トラスは 9 本の部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DB}$, $\mathrm{EF}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CE}$, $\mathrm{DF}$, $\mathrm{CF}$ からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 $\mathrm{A}$ はピン支持、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $W$ を加える。

すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。

どの部材も座屈しないような荷重 $W$ の最大値を、$E$, $d$, $a$ を用いて表せ。

鉛直な壁の上の 2 点 A, B（A が B の真上）に、2 本のまっすぐな部材 AC, BC がピンで取り付けられ、C でもピンで互いに結合されて、壁に取り付けた 2 部材トラスになっている。部材 AC は水平で長さが $L$、部材 BC は水平と $30^{\circ }$ の角をなし、C は壁から $L$ だけ離れた位置にある。節点 C に鉛直下向きの荷重 $P$ をかける。

部材 BC は直径 $d$ の中実の円形断面をもつ一様な棒で、材料の縦弾性係数（ヤング率）を $E$ とする。部材の自重は無視し、部材 BC は両端ピン支持の長柱とみなしてオイラーの座屈荷重の式を用いる。部材 AC は十分に強く、壊れないものとする。

部材 BC が座屈しないための荷重 $P$ の上限（BC の軸力がちょうどオイラーの座屈荷重に等しくなるときの $P$）を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

長さ $L=1.5\mathrm{m}$、直径 $d=40\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

鉛直面内で、同じ高さにある 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$（$\mathrm{AB}=2L$、$\mathrm{A}$ が左）を床にピン支持し、2 本のまっすぐな部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BC}$ を節点 $\mathrm{C}$ でピン結合した 2 部材トラスがある。$\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ より上にあり、$\angle \mathrm{CAB}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=60^{\circ }$ である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(>0)$ を加える。

2 本の部材は同じ材料・同じ断面（縦弾性係数 $E$、断面二次モーメント $I$。断面は円形で、どの向きにも曲がりにくさは同じ）でできており、それぞれ両端ピン支持の長柱としてオイラーの座屈荷重に従うものとする。部材の自重、部材の圧縮による変形、材料の降伏は無視する。どちらの部材も座屈しない $P$ の最大値（座屈が始まる荷重）を $E,I,L$ を用いて表せ。