3 本の部材 AB, AC, BC をピンで結合した三角形のトラスが、鉛直面内にある。節点 A はピン支点、節点 B はローラー支点（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられ、A と B は同じ高さで AB である。節点 C は AB の中点の真上 の位置にあり、C に鉛直下向きの荷重 が加わっている。部材の自重は無視する。
部材 AC の軸力は何 kN か。引張を正、圧縮を負として、符号を含めた整数で答えよ。
トラスの部材力（節点法）
ピン結合のトラスで支点反力を求め、各節点での力のつり合い , から各部材の軸力（引張・圧縮の区別を含む）を求められる
前提
- 剛体のつり合い （高校物理 力と運動）
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- 剛体のつり合い （高校物理 力と運動）
説明
トラスとは、細長い部材の端どうしをピン（自由に回転できる継ぎ目）でつないで三角形を組み合わせた骨組みで、橋や屋根、クレーンなどに使われます。この技能では、まずトラス全体のつり合いから支点反力を求め、次に部材がつながる点（節点）ごとに力のつり合い , を立てて、各部材が引っ張られているか（引張）押されているか（圧縮）と、その力の大きさ（軸力）を求めます。部材を選ぶときや、どこが壊れやすいかを調べるときの基本になる計算です。
なぜそうしてよいのか
トラスの部材は両端がピンでつながれ、荷重は節点にだけ加わるとします（部材の自重は無視します）。このとき 1 本の部材には両端の 2 か所でしか力がはたらきません。2 つの力だけで静止している棒がつり合うには、2 つの力は大きさが等しく向きが反対で、しかも同じ作用線上になければなりません（作用線がずれると偶力になり回転してしまうからです）。したがって部材が受ける力は必ず部材の向きに沿っていて、部材が伝える力は「部材に沿った 1 つの数（軸力）」で表せます。
部材が引っ張られている（引張）とき、部材は両端の節点を自分のほうへ引き寄せます。つまり節点から見ると、部材からの力は「節点から部材の向こう側へ向かう向き」です。そこで、すべての部材の軸力 を引張と仮定して、節点に「部材に沿って節点から離れる向き」の大きさ の力を書いておきます。計算して になれば、実際には向きが逆、すなわち圧縮だとわかります。
各節点は 1 つの点なので、そこにはたらく力の作用線はすべてその点を通り、モーメントのつり合いは自動的に成り立ちます。使える式は と の 2 本だけです。だから未知の軸力が 2 本以下の節点から順に解いていけば、すべての部材力が決まります。最初の節点では支点反力も未知数になることが多いので、先にトラス全体を 1 つの剛体とみて、力とモーメントのつり合いから支点反力を求めておきます。
手順
トラス全体を 1 つの剛体とみて、支点反力を求める（ピン支点は水平・鉛直の 2 成分、ローラー支点は支持面に垂直な 1 成分）。支点のまわりのモーメントのつり合いと、水平・鉛直の力のつり合いを使う。
各部材の軸力を のように置き、すべて引張と仮定する。節点には「部材に沿って節点から離れる向き」に大きさ の力を書く。
未知の軸力が 2 本以下の節点を選び、部材の傾きの角を として力を , に分解し、, を立てて解く。
求めた軸力を使って、未知数が 2 本以下になった次の節点へ進み、同じようにつり合いを解く。
得られた の符号で判定する。 なら引張、 なら圧縮で、大きさは 。
例題
3 本の部材 AB, BC, CA をピンで結合した三角形のトラスがある。A を原点として、B は 、C は にあり、AB は水平である。A はピン支点、B は水平な面上のローラー支点（鉛直上向きの反力だけを受ける）で支えられ、節点 C に鉛直下向きに の荷重が加わる。部材の自重は無視する。引張を正として、部材 AC の軸力を kN 単位で求めよ。
例題の解答
【手順 1】A の反力を水平成分 、鉛直上向き成分 、B の鉛直上向き反力を とする（単位 kN）。水平方向のつり合いより 。A のまわりのモーメントのつり合いより なので 。鉛直方向のつり合い より 。
【手順 2】軸力 をすべて引張と仮定する。節点 A では、部材 AB からの力は A から B へ向かう向き（ 方向）、部材 AC からの力は A から C へ向かう向きで、AC は水平と をなす（）。
【手順 3】未知の軸力が の 2 本だけの節点 A でつり合いを立てる。
【手順 4】（確認）節点 B でも同様に となり、節点 C で鉛直方向は と合う。
【手順 5】 なので、部材 AC は大きさ の圧縮を受けている（AB は の引張）。
答え:
よくある誤り
部材からの力の向きを、節点ごとにばらばらに決めてしまう誤り。節点 A では AC の力を A から C 向き、節点 C では A 向きでなく C から離れない向きに書くと、同じ部材の軸力の符号が節点によって食い違う。正しくは、どの節点でも「節点から部材に沿って離れる向き」を の正の向き（引張）と決めて一貫させる。
斜めの部材の力の分解で と を取り違える誤り。水平と角 をなす部材について鉛直成分を としてしまう。正しくは、水平と をなす部材なら水平成分 、鉛直成分 。
支点反力を求めずに、未知数が 3 つ以上ある節点から解き始めてしまう誤り。節点 A で を 2 本の式 , だけで求めようとしても決まらない。正しくは、先にトラス全体のモーメントのつり合い（例: ）で反力を求めてから節点に進む。
計算で が出たのを計算ミスと思って符号を消し、引張と答えてしまう誤り。 を「引張 」としてしまう。正しくは、引張と仮定して負になったのだから圧縮 である。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
鉛直な壁の上の 2 点 A, B（A が B の真上）に、2 本のまっすぐな部材 AC, BC がピンで取り付けられ、C でもピンで互いに結合されて、壁に取り付けた 2 部材トラスになっている。部材 AC は水平で長さが 、部材 BC は水平と の角をなし、C は壁から だけ離れた位置にある。節点 C に鉛直下向きの荷重 をかける。
部材 BC は直径 の中実の円形断面をもつ一様な棒で、材料の縦弾性係数（ヤング率）を とする。部材の自重は無視し、部材 BC は両端ピン支持の長柱とみなしてオイラーの座屈荷重の式を用いる。部材 AC は十分に強く、壊れないものとする。
部材 BC が座屈しないための荷重 の上限（BC の軸力がちょうどオイラーの座屈荷重に等しくなるときの ）を、, , を用いて表せ。
鉛直面内にある正三角形 の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 , , の長さはどれも である。部材 は水平で、頂点 は の上方にある。各節点 , , は摩擦のないピンで結合されている。支点 は床にピン支持され、支点 は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 （ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 の最大値を、, , を用いて表せ。
水平な剛体の天井の上に 3 点 , , がこの順に一直線上に並び、 である。3 本のまっすぐな棒 , , の上端をそれぞれ , , で天井にピン接合し、下端を 1 点 でたがいにピン接合する。3 本の棒は同じ材料（縦弾性係数 ）でできており、断面積はどれも である。\n\n棒 , の自然長は で、この 2 本を自然長のまま下端どうしでつなぐと、その点は の真下で距離 の位置にきて、各棒は鉛直と の角をなす。一方、棒 は製作誤差のため、自然長が （）と短くつくられてしまった。そこで、組み立てのときに 3 本の棒の下端を無理に合わせて点 でピン接合した。その後、点 に鉛直下向きの荷重 を加えた。\n\n荷重 を加えたあとの棒 の軸力（引張を正とする）を、, , , , を用いて表せ。\n\nただし、棒は線形弾性体で、自重は無視する。変形は微小であり、棒の向きの変化は無視してよい（つり合いの式と伸びの計算には変形前の角度を用いる）。圧縮を受ける棒があっても座屈しないものとする。
組み立て後の状態の模式図（変形は誇張していない） 鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに 軸、鉛直上向きに 軸をとって次のように定める（）。
トラスは 9 本の部材 , , , , , , , , からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 はピン支持、節点 は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 ）でできた、直径 の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。
どの部材も座屈しないような荷重 の最大値を、, , を用いて表せ。
鉛直面内にある 3 本の部材 , , からなる三角形のトラスがある。部材 は水平で、節点 は の上方にあり、、、、部材 の長さは である。節点 は固定したピン支点、節点 は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。
3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 ）でできた、直径 の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 に鉛直下向きの荷重 を加え、 を から徐々に大きくしていく。
部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 を、, , を用いて表せ。
ピン支点ローラー支点平面内にある正方形 （頂点はこの順に並び、1 辺の長さ ）の形のトラスがある。4 本の辺 , , , と 2 本の対角線 , の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 , , , だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。
6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を 、断面積を 、断面二次モーメントを とする。頂点 と に、対角線 にそって互いに近づける向きに、大きさ の荷重を加える（）。荷重は から少しずつ大きくする。
どれかの部材で最初に座屈が起こるときの の値を、, , を用いて求めよ。
ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 （ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。
鉛直面内で、同じ高さにある 2 点 , （、 が左）を床にピン支持し、2 本のまっすぐな部材 , を節点 でピン結合した 2 部材トラスがある。 は より上にあり、、 である。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。
2 本の部材は同じ材料・同じ断面（縦弾性係数 、断面二次モーメント 。断面は円形で、どの向きにも曲がりにくさは同じ）でできており、それぞれ両端ピン支持の長柱としてオイラーの座屈荷重に従うものとする。部材の自重、部材の圧縮による変形、材料の降伏は無視する。どちらの部材も座屈しない の最大値（座屈が始まる荷重）を を用いて表せ。