材料力学の問題

鉛直面内にある 3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ からなる三角形のトラスがある。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、節点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にあり、$\angle \mathrm{CAB}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$、部材 $\mathrm{AC}$ の長さは $L$ である。節点 $\mathrm{A}$ は固定したピン支点、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。

3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P$ を加え、$P$ を $0$ から徐々に大きくしていく。

部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 $P$ を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

平面内にある正方形 $\mathrm{ABCD}$（頂点はこの順に並び、1 辺の長さ $a$）の形のトラスがある。4 本の辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ と 2 本の対角線 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$ の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。

6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を $E$、断面積を $S$、断面二次モーメントを $I$ とする。頂点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ に、対角線 $\mathrm{AC}$ にそって互いに近づける向きに、大きさ $P$ の荷重を加える（$P>0$）。荷重は $P=0$ から少しずつ大きくする。

どれかの部材で最初に座屈が起こるときの $P$ の値を、$E$, $I$, $a$ を用いて求めよ。

ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 $\frac{{\pi }^{2}EI}{l^2}$（$l$ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。

鉛直面内にある正三角形 $\mathrm{ABC}$ の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さはどれも $L$ である。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にある。各節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は摩擦のないピンで結合されている。支点 $\mathrm{A}$ は床にピン支持され、支点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(P>0)$ を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は $E$ である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$（$I$ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 $P$ の最大値を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとって次のように定める（$a>0$）。
$$\mathrm{A}(0,0),\mathrm{C}(a,0),\mathrm{D}(2a,0),\mathrm{B}(3a,0),\mathrm{E}(a,a),\mathrm{F}(2a,a)$$
トラスは 9 本の部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DB}$, $\mathrm{EF}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CE}$, $\mathrm{DF}$, $\mathrm{CF}$ からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 $\mathrm{A}$ はピン支持、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $W$ を加える。

すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。

どの部材も座屈しないような荷重 $W$ の最大値を、$E$, $d$, $a$ を用いて表せ。

同じ材料（横弾性係数 $G$）でできた、中実円形断面の 2 本のまっすぐな丸軸を同軸に並べ、点 $\mathrm{B}$ で端どうしをしっかりと接合して段付き軸 $\mathrm{ABC}$ をつくった。部分 $\mathrm{AB}$ は直径 $2d$、長さ $3L$、部分 $\mathrm{BC}$ は直径 $d$、長さ $L$ である。軸の両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$ は剛体の壁に固定されていて、まったく回転できない。

接合部 $\mathrm{B}$ に、軸のまわりのねじりモーメント $T$（$T>0$）を加えた。軸は弾性範囲内にあり、各部分では断面は平面のまま回転し、せん断応力は断面の中心からの距離に比例するものとする。段の部分での応力集中は無視する。このとき、軸全体に生じる最大のせん断応力の大きさを、$T$, $d$ を用いて表せ。