はりの曲げ応力

平面保持の仮定から曲げ応力 $σ = \frac{M y}{I}$ を導き、最大曲げモーメントと断面係数から、はりに生じる曲げ応力の最大値 $σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z}$ を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

はりが曲げモーメントを受けると、断面の片側は引っ張られ、反対側は押し縮められて、断面内に垂直応力（曲げ応力）が生じます。この技能では、「曲げても断面は平面のまま」という仮定から曲げ応力の分布 $σ = \frac{M y}{I}$ を導き、はりの最大曲げモーメントと断面係数から、はりに生じる最大の曲げ応力 $σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z}$ を求められるようになります。求めた値を材料の許される応力と比べれば、はりが安全かどうか、どれだけの断面が必要かを判断できます。

なぜそうしてよいのか

はりの軸に垂直な断面は、曲げられた後も平面のままで、曲がった軸に垂直であり続けると仮定します（平面保持の仮定）。下に凸に曲がったはりの微小な部分を考えると、隣り合う 2 つの断面はわずかに傾き合い、その延長線は曲率の中心で交わります。このとき上側の繊維は縮み、下側の繊維は伸び、その間に伸びも縮みもしない面（中立面）があります。中立面と断面の交わる線を中立軸といい、中立軸から下向きに測った距離を $y$ 、中立面の曲率半径を $ρ$ とします。中立面上の長さ $ρ d θ$ の繊維に対し、距離 $y$ の繊維の長さは $(ρ + y) d θ$ なので、ひずみは
$ε = \frac{( ρ + y ) d θ - ρ d θ}{ρ d θ} = \frac{y}{ρ}$
と $y$ に比例します。各繊維が軸方向にだけ伸び縮みするとみなすと、フックの法則より $σ = E ε = \frac{E}{ρ} y$ です。

次に、はりの軸方向には外力がないので、断面全体の軸方向の力の合計は 0 です: $\int σ d A = \frac{E}{ρ} \int y d A = 0$ 。これは $\int y d A = 0$ 、すなわち中立軸が断面の図心を通ることを意味します。さらに、これらの応力が中立軸のまわりに生むモーメントの合計が、その断面の曲げモーメント $M$ に等しいので
$M = \int σ y d A = \frac{E}{ρ} \int y^{2} d A = \frac{E I}{ρ}$
となります（ $I$ は中立軸まわりの断面二次モーメント）。これから $\frac{E}{ρ} = \frac{M}{I}$ を $σ = \frac{E}{ρ} y$ に代入して
$σ = \frac{M y}{I}$
が得られます。下に凸に曲げる向きの $M$ を正とすれば、 $y > 0$ （下側）で引張、 $y < 0$ （上側）で圧縮です。

曲げ応力は中立軸からの距離に比例するので、断面の中で最も大きいのは中立軸から最も遠い縁（ $∣ y ∣ = y_{m a x}$ ）です。そこで $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ を使えば、その断面での最大値は $\frac{∣ M ∣}{Z}$ です。はり全体では $∣ M ∣$ が最大の断面で最大になるので、断面が一様なはりでは $σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z}$ （ $M_{m a x}$ は曲げモーメントの大きさの最大値）となります。

手順

支点反力を求め、曲げモーメント $M (x)$ を区間ごとに書いて、大きさが最大になる位置と $M_{m a x}$ を求める。
断面の図心を通る中立軸を決め、中立軸まわりの断面二次モーメント $I$ と、中立軸から最も遠い縁までの距離 $y_{m a x}$ を求める。
断面係数 $Z = \frac{I}{y _{m a x}}$ を求める（長方形なら $\frac{b h ^{2}}{6}$ 、円なら $\frac{π d ^{3}}{32}$ ）。
単位をそろえて（例: N・m と $m^{3}$ ）、 $σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z}$ を計算する。断面内の任意の位置の応力が必要なら $σ = \frac{M y}{I}$ を使う。
$M$ の符号と $y$ の位置から、その縁が引張か圧縮かを判断し、問われた単位（MPa など）に直す。

例題

長さ $4 m$ のはりが両端で単純支持され、中央に鉛直下向きの集中荷重 $6 kN$ が加わっている。はりの断面は幅 $50 mm$ 、高さ $120 mm$ の長方形（高さ方向が鉛直）で、はりの自重は無視する。このはりに生じる曲げ応力の最大値を $MPa$ 単位で求めよ。

例題の解答

【手順 1】対称なので支点反力は両端とも $3 kN$ （上向き）。左端から $x$ の位置の曲げモーメントは $0 \leq x \leq 2$ で $M (x) = 3 x$ 、 $2 \leq x \leq 4$ で $M (x) = 3 x - 6 (x - 2) = 12 - 3 x$ （kN・m）。最大は中央 $x = 2$ で $M_{m a x} = 6 kN \cdot m = 6.0 \times 1 0^{3} N \cdot m$ 。

【手順 2】長方形の図心は中心なので中立軸は高さの中央を通る。 $I = \frac{b h ^{3}}{12} = \frac{50 \times 12 0 ^{3}}{12} = 7.2 \times 1 0^{6} mm^{4}$ 、 $y_{m a x} = 60 mm$ 。

【手順 3】 $Z = \frac{I}{y _{m a x}} = \frac{7.2 \times 1 0 ^{6}}{60} = 1.2 \times 1 0^{5} mm^{3}$ （ $\frac{b h ^{2}}{6} = \frac{50 \times 12 0 ^{2}}{6}$ とも一致）。 $1 mm^{3} = 1 0^{- 9} m^{3}$ より $Z = 1.2 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ 。

【手順 4】
$σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{3}}{1.2 \times 1 0 ^{- 4}} = 5.0 \times 1 0^{7} Pa$

【手順 5】 $M > 0$ （下に凸）なので、中央の断面の下縁で引張、上縁で圧縮の、大きさ $50 MPa$ の応力が生じる。よって曲げ応力の最大値は $50 MPa$ 。

答え: $50$

よくある誤り

曲げ応力を軸荷重と同じように断面積で割ってしまう誤り。例の値で $σ = \frac{M}{A} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{3}}{6.0 \times 1 0 ^{- 3}}$ としてしまう（単位も合わない）。正しくは曲げ応力は中立軸からの距離に比例して分布し、最大値は $σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z}$ 。
$σ = \frac{M y}{I}$ の $y$ に断面の高さ $h$ をそのまま入れてしまう誤り。長方形で $σ = \frac{M h}{I}$ とすると 2 倍の値になる。正しくは $y$ は中立軸（図心）からの距離で、縁では $y_{m a x} = \frac{h}{2}$ 。
中立軸を断面の高さの中央と決めつける誤り。T 形断面などで中立軸を高さの中央にとって $I$ や $y_{m a x}$ を計算してしまう。正しくは $\int y d A = 0$ から中立軸は図心を通るので、まず図心の位置を求め、上縁・下縁のうち図心から遠いほうを $y_{m a x}$ とする。
単位の換算を誤る誤り。 $M = 6 kN \cdot m$ と $Z = 1.2 \times 1 0^{5} mm^{3}$ をそのまま割って $5 \times 1 0^{- 5}$ としてしまう。正しくは $M = 6 \times 1 0^{6} N \cdot mm$ として $\frac{6 \times 1 0 ^{6}}{1.2 \times 1 0 ^{5}} = 50 N/m m^{2} = 50 MPa$ （ $1 N/m m^{2} = 1 MPa$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $L = 1 m$ の片持ちはりがあり、左端 A が壁に固定され、右端 B（自由端）に鉛直下向きの集中荷重 $P = 3 kN$ が加わっている。はりの断面は幅 $b = 50 mm$ 、高さ $h = 60 mm$ の長方形で、高さの方向に曲げを受ける（中立軸は断面の図心を通り幅の方向に平行）。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形するものとする。
このはりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 MPa か。整数で答えよ。
$A$ $B$ $P = 3 kN$ $L = 1 m$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

たわみ曲線の微分方程式（大学物理材料力学）