材料力学の問題

1. 支点反力

荷重の合計は $4\times 6=24\mathrm{kN}$ で、その作用点は $\mathrm{A}$ から $3\mathrm{m}$ の位置である。$\mathrm{A}$ のまわりのモーメントのつり合いより
$$R_B\times 4=24\times 3\Rightarrow R_B=18\mathrm{kN}$$
鉛直方向の力のつり合いより $R_A=24-18=6\mathrm{kN}$（どちらも上向き）。

2. せん断力と曲げモーメント

$\mathrm{A}$ から右へ $x[\mathrm{m}]$ の断面で、下に凸に曲げるモーメントを正とする。

$0\le x\le 4$ のとき
$$V(x)=6-4x,M(x)=6x-2x^2[\mathrm{kN}\mathrm{m}]$$
$4\le x\le 6$ のとき（右側の張り出し部分から考えて）
$$M(x)=-\frac{4(6-x{)}^2}{2}=-2(6-x{)}^2[\mathrm{kN}\mathrm{m}]$$

正の最大曲げモーメントは $V=0$ となる $x=1.5\mathrm{m}$ で生じ
$$M_{+}=6\times 1.5-2\times 1.5^2=4.5\mathrm{kN}\mathrm{m}$$
負の最大曲げモーメント（大きさ）は支点 $\mathrm{B}$ で生じ
$$M_{-}=-2\times 2^2=-8\mathrm{kN}\mathrm{m}$$

3. 断面の図心と断面二次モーメント

断面の下端から高さを測る。フランジの面積は $100\times 20=2000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$（図心の高さ $110\mathrm{mm}$）、ウェブの面積は $20\times 100=2000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$（図心の高さ $50\mathrm{mm}$）なので、中立軸（図心）の高さは
$$\bar{y}=\frac{2000\times 110+2000\times 50}{4000}=80\mathrm{mm}$$
よって中立軸から上端までは $y_t=40\mathrm{mm}$、下端までは $y_b=80\mathrm{mm}$。

平行軸の定理より、中立軸まわりの断面二次モーメントは
$$I=\left(\frac{100\times 20^3}{12}+2000\times 30^2\right)+\left(\frac{20\times 100^3}{12}+2000\times 30^2\right)$$
$$=\frac{200000}{3}+1800000+\frac{5000000}{3}+1800000=\frac{16}{3}\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$$

4. 曲げ応力

曲げ応力は $\sigma =\frac{My}{I}$ で、$M$ を $\mathrm{N}\mathrm{mm}$、$I$ を $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$ で表すと $\mathrm{MPa}$ になる。断面が上下非対称なので、正・負の両方の最大曲げモーメントの位置で、上端と下端の応力を調べる必要がある。

• $x=1.5\mathrm{m}$（$M_{+}=4.5\times 10^6\mathrm{N}\mathrm{mm}$、下側が引張）
• 下端（引張）: $\frac{4.5\times 10^6\times 80}{\frac{16}{3}\times 10^6}=67.5\mathrm{MPa}$
• 上端（圧縮）: $\frac{4.5\times 10^6\times 40}{\frac{16}{3}\times 10^6}=33.75\mathrm{MPa}$
• 支点 $\mathrm{B}$（$|M_{-}|=8\times 10^6\mathrm{N}\mathrm{mm}$、上側が引張）
• 上端（引張）: $\frac{8\times 10^6\times 40}{\frac{16}{3}\times 10^6}=60\mathrm{MPa}$
• 下端（圧縮）: $\frac{8\times 10^6\times 80}{\frac{16}{3}\times 10^6}=120\mathrm{MPa}$

ほかの断面では $|M|$ がこれらより小さいので、応力もこれより小さい。したがって最大引張応力は $x=1.5\mathrm{m}$ の下端の $67.5\mathrm{MPa}$、最大圧縮応力は $\mathrm{B}$ の下端の $120\mathrm{MPa}$ である。

答え: $\left(\frac{135}{2},120\right)$

反力: 全荷重 $4\times 6=24\mathrm{kN}$ の合力は A から 3 m の位置。A まわりのモーメントのつり合い $R_B\cdot 4=24\times 3$ より $R_B=18\mathrm{kN}$、$R_A=24-18=6\mathrm{kN}$。

曲げモーメント（A から $x$、下に凸となる正の曲げを正）: $0\le x\le 4$ で $M=6x-2x^2$ ［kN·m］。
せん断力 $V=6-4x=0$ より $x=1.5\mathrm{m}$ で正の最大 $M=9-4.5=4.5\mathrm{kN}\mathrm{m}$。
支点 B（$x=4$）では $M=24-32=-8\mathrm{kN}\mathrm{m}$（C 側から見ると $-4\times 2\times 1=-8$ で一致）。張り出し部では $|M|$ は B で最大。よって $M_{max}^{+}=4.5\mathrm{kN}\mathrm{m}$、$M_{max}^{-}=-8\mathrm{kN}\mathrm{m}$。

断面（上端から測る）: フランジ $A=100\times 20=2000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$（図心 10 mm）、ウェブ $A=20\times 100=2000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$（図心 70 mm）。
図心位置 $\bar{y}=\frac{2000\times 10+2000\times 70}{4000}=40\mathrm{mm}$（上端から）、下端から 80 mm。

$I=\left[\frac{100\cdot 20^3}{12}+2000\cdot 30^2\right]+\left[\frac{20\cdot 100^3}{12}+2000\cdot 30^2\right]=1.8667\times 10^6+3.4667\times 10^6=5.3333\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$

正の曲げ（$M=4.5\mathrm{kN}\mathrm{m}$、上側圧縮・下側引張）:
下端 引張 $\sigma =\frac{4.5\times 10^6\times 80}{5.3333\times 10^6}=67.5\mathrm{MPa}$、上端 圧縮 $\frac{4.5\times 10^6\times 40}{5.3333\times 10^6}=33.75\mathrm{MPa}$

負の曲げ（$M=-8\mathrm{kN}\mathrm{m}$、上側引張・下側圧縮）:
上端 引張 $\frac{8\times 10^6\times 40}{5.3333\times 10^6}=60\mathrm{MPa}$、下端 圧縮 $\frac{8\times 10^6\times 80}{5.3333\times 10^6}=120\mathrm{MPa}$

最大引張応力は $\max (67.5,60)=67.5\mathrm{MPa}$（$x=1.5\mathrm{m}$ の下端）、最大圧縮応力は $\max (33.75,120)=120\mathrm{MPa}$（B の下端）。