材料力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理材料力学

長さ $L = 6 m$ の水平なまっすぐなはり $AB$ がある。左端 $A$ はピン支持、右端 $B$ はローラー支持で、はりは単純支持されている。 $A$ から右へ距離 $x$ （ $0 \leq x \leq L$ ）の位置に、単位長さあたり
$q (x) = q_{0} \frac{x}{L}, q_{0} = 6 kN/m$
の鉛直下向きの分布荷重がはりの全長にわたって加わっている（ $A$ で $0$ 、 $B$ で $q_{0}$ の三角形分布荷重）。ほかに荷重はない。

はりの断面は全長にわたって一様な T 形で、上側に幅 $120 mm$ 、厚さ $20 mm$ のフランジがあり、その下に厚さ（幅） $20 mm$ 、高さ $120 mm$ のウェブがフランジの幅の中央に付いている（断面の全高 $140 mm$ ）。断面は鉛直な軸について左右対称で、荷重はこの対称面内に加わる。

はりの自重は無視し、材料は線形弾性体とし、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）で求めるものとする。このはりに生じる最大の引張曲げ応力の大きさは何 $MPa$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

A

B

q_{0} = 6 kN/m

6 m

120 mm

140 mm

20 mm

20 mm

断面

はり（左）と T 形断面（右）。断面の図は拡大している。

この問題で使うもの

はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図（説明と入口の問題）
断面二次モーメントと断面係数（説明と入口の問題）
はりの曲げ応力（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず支点反力を求め、A から距離 $x$ の断面での曲げモーメント $M (x)$ を式で表しましょう。最大の引張応力は、曲げモーメントの符号と、中立軸から引張側の縁までの距離で決まります。

ヒント 2

三角形分布荷重では、断面より左の荷重の合力は $\frac{q _{0} x ^{2}}{2 L}$ 、その作用点は断面から $\frac{x}{3}$ です。 $M$ が最大になるのは $V = d M / d x = 0$ の位置です。T 形断面は上下非対称なので、図心を求めてから平行軸の定理で $I$ を計算します。

ヒント 3

$R_{A} = 6 kN$ 、 $M (x) = 6 x - \frac{x ^{3}}{6} [kN \cdot m]$ で、最大は $x = 23 m$ のとき。図心は下端から $95 mm$ 、 $I = 8.84 \times 1 0^{6} m m^{4}$ です。

答えと解説

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解説を読む

1. 支点反力

分布荷重の合力は $W = \frac{q _{0} L}{2} = \frac{6 \times 6}{2} = 18 kN$ で、作用線は $A$ から $\frac{2 L}{3} = 4 m$ の位置にある。 $B$ まわりのモーメントのつりあいから
$R_{A} \cdot 6 = 18 \times (6 - 4) \Rightarrow R_{A} = 6 kN$
鉛直方向の力のつりあいから $R_{B} = 18 - 6 = 12 kN$ である。

2. せん断力と曲げモーメント

$A$ から $x$ の断面より左の部分を考える。この部分に加わる荷重は $\int_{0}^{x} q_{0} \frac{s}{L} d s = \frac{q _{0} x ^{2}}{2 L}$ で、その作用線は断面から左へ $\frac{x}{3}$ の位置にある。 $x$ を m、力を kN で表すと $\frac{q _{0}}{L} = 1 kN/ m^{2}$ なので、
$V (x) = R_{A} - \frac{q _{0} x ^{2}}{2 L} = 6 - \frac{x ^{2}}{2} [kN]$
$M (x) = R_{A} x - \frac{q _{0} x ^{2}}{2 L} \cdot \frac{x}{3} = 6 x - \frac{x ^{3}}{6} = \frac{x ( 36 - x ^{2} )}{6} [kN \cdot m]$
（ $M$ は下側が引張になる向きを正とする。） $0 \leq x \leq 6$ で $M (x) \geq 0$ なので、はり全体で下側が引張、上側が圧縮である。

$\frac{d M}{d x} = V = 0$ となるのは $x^{2} = 12$ 、すなわち $x = 23 m \approx 3.46 m$ のときで、
$M_{m a x} = 6 \cdot 23 - \frac{( 2 3 ) ^{3}}{6} = 123 - 43 = 83 kN \cdot m \approx 13.86 kN \cdot m$

3. 断面の図心と断面二次モーメント

断面の下端から高さを測る。フランジ：面積 $120 \times 20 = 2400 m m^{2}$ 、図心の高さ $130 mm$ 。ウェブ：面積 $20 \times 120 = 2400 m m^{2}$ 、図心の高さ $60 mm$ 。図心（中立軸）の高さは
$y ˉ = \frac{2400 \times 130 + 2400 \times 60}{2400 + 2400} = 95 mm$
したがって中立軸から下端までの距離は $95 mm$ 、上端までは $45 mm$ 。

平行軸の定理より、中立軸に関する断面二次モーメントは
$I_{フランジ} = \frac{120 \times 2 0 ^{3}}{12} + 2400 \times (130 - 95)^{2} = 80000 + 2940000 = 3.02 \times 1 0^{6} m m^{4}$
$I_{ウェブ} = \frac{20 \times 12 0 ^{3}}{12} + 2400 \times (95 - 60)^{2} = 2880000 + 2940000 = 5.82 \times 1 0^{6} m m^{4}$
$I = 8.84 \times 1 0^{6} m m^{4}$

4. 最大引張曲げ応力

曲げ応力は $σ = \frac{M y}{I}$ （ $y$ は中立軸からの距離）。 $M \geq 0$ なので引張は下側に生じ、最大になるのは $M$ が最大の断面の下端（ $y = 95 mm$ ）である。 $M_{m a x} = 83 \times 1 0^{6} N \cdot mm$ として
$σ_{t, m a x} = \frac{8 3 \times 1 0 ^{6} \times 95}{8.84 \times 1 0 ^{6}} = \frac{760 3}{8.84} \approx 148.9 N/m m^{2}$
$1 N/m m^{2} = 1 MPa$ なので、最大引張曲げ応力は約 $149 MPa$ である。

別解

全荷重は $W = q_{0} L /2 = 18 kN$ 。作用点は A から $2 L /3$ の位置。支点反力は $R_{A} = W /3 = 6 kN$ 、 $R_{B} = 2 W /3 = 12 kN$ 。

せん断力は $V (x) = R_{A} - \frac{q _{0} x ^{2}}{2 L} = 6 - 0.5 x^{2} kN$ （ $x$ は m）。 $V = 0$ となるのは $x = 12 = 23 \approx 3.464 m$ 。

曲げモーメントは $M (x) = 6 x - x^{3} /6 kN \cdot m$ 。 $x = 23$ で最大となり、 $M_{ma x} = 6 (3.4641) - 41.569/6 = 20.785 - 6.928 = 13.856 kN \cdot m$ 。 $M (6) = 36 - 36 = 0$ であり、はり全体で $M \geq 0$ （下に凸のたわみ、下側が引張）。

断面の図心（上端から測る）：フランジ面積 $2400 m m^{2}$ （重心 10 mm）、ウェブ面積 $2400 m m^{2}$ （重心 80 mm）より $y_{c} = 45 mm$ 。下端までの距離は $95 mm$ 。

断面二次モーメント：
フランジ $= 120 \cdot 2 0^{3} /12 + 2400 \cdot 3 5^{2} = 80000 + 2, 940, 000 = 3, 020, 000 m m^{4}$
ウェブ $= 20 \cdot 12 0^{3} /12 + 2400 \cdot 3 5^{2} = 2, 880, 000 + 2, 940, 000 = 5, 820, 000 m m^{4}$
合計 $I = 8.84 \times 1 0^{6} m m^{4}$ 。

最大引張応力は下端で生じる。
$σ = \frac{M _{ma x} y}{I} = \frac{13.856 \times 1 0 ^{6} \times 95}{8.84 \times 1 0 ^{6}} \approx 148.9 MPa$ 。

検算：上端の圧縮応力は $13.856 \times 1 0^{6} \times 45/8.84 \times 1 0^{6} \approx 70.5 MPa$ で、引張側のほうが大きい。したがって最大引張応力は約 $149 MPa$ 。

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