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はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図

単純支持・片持ちのはりに集中荷重・分布荷重（部分的な分布荷重を含む）が加わるとき、つり合いから支点反力を求め、せん断力 と曲げモーメント の式を区間ごとに書いて、 から最大曲げモーメントの位置と大きさを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

はり（細長い棒）に荷重が加わったとき、はりの内部のある断面にどれだけの「ずらそうとする力（せん断力）」と「曲げようとする力のモーメント（曲げモーメント）」がはたらくかを、位置 の関数として求める技能です。まず剛体のつり合いから支点反力を求め、次にはりを断面で切って片側のつり合いを考えることで、せん断力 と曲げモーメント の式を区間ごとに書きます。 が最大になる位置は、はりが最も折れやすい場所なので、はりの強さを設計するときの出発点になります。

なぜそうしてよいのか

はり全体がつり合って静止しているなら、はりのどの部分を切り出してもその部分はつり合っています。そこで、左端 A から距離 の断面ではりを仮に切り、左側の部分だけを考えます。左側の部分には、支点反力や荷重のほかに、切り口で右側の部分から受ける力と力のモーメントがはたらき、これが左側の部分をつり合わせています。この切り口で受ける鉛直方向の力に対応する量がせん断力、力のモーメントに対応する量が曲げモーメントです。ここでは符号を次のように決めます: は「断面より左にある外力（反力と荷重）の上向き成分の和」、 は「断面より左にある外力の、断面の位置のまわりの力のモーメントの和（時計回りを正）」とします。この決め方では、はりが下に凸にたわむ（下側が伸びる）向きの曲げモーメントが正になります。

この定義から が導けます。断面より左にある上向きの集中力 （位置 ）は、断面のまわりに腕の長さ で時計回りのモーメント を生みます。これを で微分すると になります。分布荷重（下向き、1 m あたり ）についても、 を少し増やすと、すでに左にある荷重の腕が伸びる分の変化は「左側の荷重の合計」に比例し、新しく加わる小さな部分の腕はほぼ 0 なので、やはり微分すると「左側の下向き荷重の合計の 倍」になります。まとめると、 を で微分したものは左側の外力の上向き成分の和、つまり です。また同じ理由で、分布荷重 がかかる区間では です。

したがって、 の最大値は「区間での最大・最小」の考え方で求められます。各区間で は の多項式なので、 となる点（極値の候補）と、区間の端（支点・荷重の位置）での の値を比べればよいのです。集中荷重の位置では が不連続に跳びますが、 は連続なので、 の符号が正から負に変わる位置で が最大になります。

手順

  1. はりの長さ・支え方・荷重を図にかき、左端を原点として右向きに 軸をとる。支点反力を未知数として置く（単純支持なら両端の鉛直反力 、片持ちなら固定端の鉛直反力とモーメント反力）。

  2. はり全体のつり合いから支点反力を求める。分布荷重は、合計の大きさ（強さ×長さ）の集中力が、その分布の中央に加わるとみなしてよい。鉛直方向の力のつり合いと、支点のまわりのモーメントのつり合いを連立する。

  3. 荷重の加わり方が変わる位置（集中荷重の位置、分布荷重の始まりと終わり、支点）ではりを区間に分ける。

  4. 各区間で位置 の断面より左の部分を考え、（左側の外力の上向き成分の和）、（左側の外力の、断面のまわりの時計回りのモーメントの和）を式で書く。区間の境目で が連続になっていることを確かめる。

  5. を使い、 となる （または の符号が正から負に変わる位置）を求める。その位置と区間の端での の値を比べて、最大曲げモーメントの位置と大きさを決める。

例題

長さ のはり AB が、両端 A, B で単純支持されている。A から の部分（はりの左半分）にだけ、1 m あたり の一様な分布荷重が下向きに加わっている。はりの自重は無視する。このはりに生じる最大曲げモーメントの大きさは何 か。分数で求めよ。

例題の解答

【手順 1】A を原点に右向きに 軸をとり、A, B の鉛直上向きの反力を （単位 kN）とする。

【手順 2】分布荷重の合計は で、 に集中して加わるとみなせる。A のまわりのモーメントのつり合いより なので 。鉛直方向のつり合い より 。

【手順 3】荷重の加わり方が変わる で、 と の 2 区間に分ける。

【手順 4】
- : 断面より左には （上向き）と、長さ 分の分布荷重 （下向き、中央 の位置、断面からの腕 ）がある。

- : 左には と分布荷重全体 （ の位置）がある。

では両方の式とも となり連続。 で となり、B が単純支持であることとも合う。

【手順 5】 が 0 になるのは、 で 、すなわち 。ここで は正から負に変わるので は極大で

区間の端の値 、、 と比べると、 が最大。

よって最大曲げモーメントは A から の位置で、大きさ （）。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること