長さ 、断面積 の一様な鋼の丸棒がある。棒の左端を壁に固定し、右端に棒の軸方向（右向き）の引張荷重 を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を とし、棒は弾性範囲内で変形し、自重は無視できるものとする。
このときの棒の伸び は何 mm か。整数で答えよ。
材料力学
扱うテーマ: 応力とひずみ・フックの法則・ポアソン比・熱応力、軸荷重を受ける棒の伸びと不静定問題、はりのせん断力・曲げモーメント・曲げ応力、はりのたわみ（たわみ曲線の微分方程式）、軸のねじり（ねじり応力・ねじれ角）、柱の座屈（オイラーの座屈荷重）・トラスの部材力
難易度の目安（大学物理）
- 難易度 1 教科書の例題レベル
- 難易度 2 教科書の演習問題レベル
- 難易度 3 期末試験の応用レベル
- 難易度 4 大学院入試の標準レベル
- 難易度 5 大学院入試の難問レベル
幅 、高さ の長方形断面をもつはりがある。高さの方向に曲げを受けるとし、中立軸は断面の図心を通り幅の方向（水平）に平行な軸とする。
この中立軸に関する断面係数 は何 か。整数で答えよ。
中立軸3 本の部材 AB, AC, BC をピンで結合した三角形のトラスが、鉛直面内にある。節点 A はピン支点、節点 B はローラー支点（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられ、A と B は同じ高さで AB である。節点 C は AB の中点の真上 の位置にあり、C に鉛直下向きの荷重 が加わっている。部材の自重は無視する。
部材 AC の軸力は何 kN か。引張を正、圧縮を負として、符号を含めた整数で答えよ。
一様な断面をもつ鋼の棒の両端を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に応力は生じていない。この状態から棒全体の温度を一様に 上げた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を 、線膨張係数を とし、棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。
このとき棒に生じる圧縮応力の大きさは何 MPa か。整数で答えよ。
鋼の棒（温度を 上げる）長さ の片持ちはりがあり、左端 A が壁に固定され、右端 B（自由端）に鉛直下向きの集中荷重 が加わっている。はりの断面は幅 、高さ の長方形で、高さの方向に曲げを受ける（中立軸は断面の図心を通り幅の方向に平行）。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形するものとする。
このはりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 MPa か。整数で答えよ。
直径 の中実丸軸がある。軸の左端を壁に固定し、右端に軸のまわりのねじりモーメント を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。
このとき軸に生じる最大せん断応力 は何 MPa か。円周率 を含む正確な値で答えよ。
長さ の一様な棒 AB（断面積と縦弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に力ははたらいていない。棒の上で A から の点 C に、棒の軸方向に A から B へ向かう向きの荷重 を加える。棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。
棒の AC の部分に生じる軸力の大きさは何 kN か。整数で答えよ。
直方体のアルミニウムのブロックを、 方向に向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、すき間なく（応力が生じない状態で）はさむ。壁は動かず変形もしないので、ブロックの 方向のひずみは に保たれる。 方向には何もふれておらず自由に変形できる。このブロックの上下の面に、 方向の一様な圧縮応力 を加える（引張を正とする）。アルミニウムのポアソン比を とし、ブロックは弾性範囲内で変形し、壁とブロックの間の摩擦は無視できるものとする。温度は変化しない。
このとき壁からブロックに加わる 方向の垂直応力 は何 MPa か。引張を正として、符号を含めた整数で答えよ。
長さ の一様な中実丸軸 AB（直径と横弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、回転しないように壁に固定する。A から の点 C に、軸のまわりのねじりモーメント を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。
軸の AC の部分が受けるねじりモーメントの大きさは何 か。整数で答えよ。
長さ の真っすぐな鋼の柱がある。柱の両端はピン支持（回転は自由で、横方向には動かない）で、上端に柱の軸方向の圧縮荷重 を加える。鋼の縦弾性係数を 、柱の断面の最小の断面二次モーメントを とする。柱ははじめ完全に真っすぐで、荷重は断面の図心に加わり、座屈するまで材料は弾性範囲内にあるものとする。
この柱のオイラーの座屈荷重 は何 kN か。円周率 を含む正確な値で答えよ。
両端ピン支持の柱 長さ の水平なまっすぐなはり AB が、左端 A をピン支持、右端 B をローラー支持で単純支持されている。A から右へ の点 C に大きさ 、A から右へ の点 D に大きさ の集中荷重が、どちらも鉛直下向きに加わっている。はりの自重は無視する。
はりに生じる曲げモーメントの大きさの最大値は何 か。正確な値で答えよ。
鉛直な壁の上の 2 点 A, B（A が B の真上）に、2 本のまっすぐな部材 AC, BC がピンで取り付けられ、C でもピンで互いに結合されて、壁に取り付けた 2 部材トラスになっている。部材 AC は水平で長さが 、部材 BC は水平と の角をなし、C は壁から だけ離れた位置にある。節点 C に鉛直下向きの荷重 をかける。
部材 BC は直径 の中実の円形断面をもつ一様な棒で、材料の縦弾性係数（ヤング率）を とする。部材の自重は無視し、部材 BC は両端ピン支持の長柱とみなしてオイラーの座屈荷重の式を用いる。部材 AC は十分に強く、壊れないものとする。
部材 BC が座屈しないための荷重 の上限（BC の軸力がちょうどオイラーの座屈荷重に等しくなるときの ）を、, , を用いて表せ。
直径 の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒の両端に、軸方向の引張荷重 を断面の中心線にそって加えた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を 、ポアソン比を とする。棒は弾性範囲内で変形し、断面には垂直応力が一様に生じ、横方向のひずみも断面内で一様であるとする。荷重を加えたことによる丸棒の直径の減少量は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
丸棒を側面から見た図（縮尺は正確ではない） 長さ 、直径 の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
下端固定・上端自由の柱（縮尺は正確ではない） 長さ の水平なまっすぐな片持ちはり がある。左端 は鉛直な壁に固定され、右端 は自由端である。はりの全長にわたって、鉛直下向きに強さ の等分布荷重が加わっている。
はりの断面は、幅 、高さ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、材料は弾性範囲内にあり、曲げ応力は単純曲げの理論（平面保持、応力は中立軸からの距離に比例）で求められるものとする。
はりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 か。整数で答えよ。
鋼管の内部にコンクリートをすき間なく詰めた、鉛直な短い柱がある。鋼管とコンクリートの長さは等しく、柱の上端と下端はどちらも剛体の板にしっかりと接している。下の板は床に固定されており、上の板の中央に鉛直下向きの圧縮荷重 を加えたところ、上の板は傾かずに平行に下がった。
鋼管の断面積を 、縦弾性係数を 、コンクリートの断面積を 、縦弾性係数を とする。荷重を加える前、鋼管にもコンクリートにも応力は生じていなかった。どちらの材料も弾性範囲内にあり、応力はそれぞれの断面に一様に分布するものとする。柱と板の自重、座屈、鋼管とコンクリートのあいだの摩擦は無視する。
鋼管に生じる圧縮応力の大きさは何 か。整数で答えよ。
鋼管コンクリート剛体の板柱の縦断面（鋼管の壁の厚さは誇張して描いてある） 長さ の水平なまっすぐなはり が、左端 をピン支持、右端 をローラー支持で単純支持されている。はりの曲げ剛性 は全長にわたって一定である。右端 に、はりを含む鉛直面内で、紙面に向かって反時計回り（ から の向きを右としたとき）の大きさ の偶力のモーメント（集中モーメント）を加えた。ほかに荷重はない。
このとき、はりの中点 の鉛直下向きのたわみを、, , , を用いて求めよ。
ただし、はりの自重は無視し、たわみは十分小さく、たわみ曲線の微分方程式 （ は下向きのたわみ、 は下に凸に曲げる向きを正とした曲げモーメント）が成り立つものとする。 とする。
長さ のまっすぐな剛体の棒 が水平に置かれ、左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、 のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 （）と右端 は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ 、断面積 、棒 2 は長さ 、断面積 であり、鋼の縦弾性係数は とする。
はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 に鉛直下向きの荷重 を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 か。
棒 1棒 2図は正確とは限りません 長さ 、直径 の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。
この状態から丸棒全体の温度を一様に だけ上げた。鋼の縦弾性係数を 、ポアソン比を 、線膨張係数を とする。
次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。
加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 増加したか。正確な値で求めよ。
直径図は正確な縮尺ではない（すき間を大きく描いている） まっすぐな鋼の棒 とアルミニウム合金の棒 を、点 で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 が、水平に置かれている。左端 は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は と右の壁のあいだに のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。
- 鋼 ：長さ 、断面積 、縦弾性係数 、線膨張係数
- アルミニウム合金 ：長さ 、断面積 、縦弾性係数 、線膨張係数
棒全体の温度を一様に 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 に生じる圧縮応力の大きさは何 か。整数で答えよ。
鋼アルミニウム合金すき間は誇張して描いている 長さ の水平なまっすぐなはり がある。左端 はピン支持、右端 はローラー支持で、はりは単純支持されている。 から右へ距離 （）の位置に、単位長さあたり
の鉛直下向きの分布荷重がはりの全長にわたって加わっている（ で 、 で の三角形分布荷重）。ほかに荷重はない。はりの断面は全長にわたって一様な T 形で、上側に幅 、厚さ のフランジがあり、その下に厚さ（幅）、高さ のウェブがフランジの幅の中央に付いている（断面の全高 ）。断面は鉛直な軸について左右対称で、荷重はこの対称面内に加わる。
はりの自重は無視し、材料は線形弾性体とし、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）で求めるものとする。このはりに生じる最大の引張曲げ応力の大きさは何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
断面はり（左）と T 形断面（右）。断面の図は拡大している。 鉛直面内にある正三角形 の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 , , の長さはどれも である。部材 は水平で、頂点 は の上方にある。各節点 , , は摩擦のないピンで結合されている。支点 は床にピン支持され、支点 は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 （ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 の最大値を、, , を用いて表せ。
直径 の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 のとき、丸棒には応力が生じていない。
この状態から、丸棒全体の温度を一様に 上昇させた。丸棒の線膨張係数を 、ポアソン比を とする。
丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は ）。ひずみは微小とする。
このとき、丸棒の直径の増加量は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
鋼の丸棒両端を剛体の壁に固定した丸棒（長さ方向の縮尺は任意） 長さ の水平なまっすぐな片持ちはり がある。左端 は鉛直な壁に固定され（変位も回転もできない）、右端 は自由端である。 から右へ の点を とする。はりには、区間 （長さ ）に鉛直下向きの等分布荷重 がかかり、さらに自由端 に鉛直下向きの集中荷重 がかかっている。はりの断面は全長にわたって一様な長方形で、幅 、高さ （高さの方向が鉛直）である。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形し、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）にしたがうものとする。このはりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値は何 か。整数で求めよ。
断面は幅 、高さ の長方形 左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ のアルミニウム棒と長さ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ のすき間がある。
各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 、、
- 鋼棒: 断面積 、、はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、 は温度によらず一定とする。
アルミニウム棒鋼棒300 mm200 mmすき間 δ は誇張して描いている 長さ の真っすぐなはり AB が、左端 A をピン支点、右端 B をローラー支点で単純支持されている。はりには全長にわたって鉛直下向きの等分布荷重 がかかり、さらに A から の点 C に鉛直下向きの集中荷重 がかかっている。はりの断面は幅 、高さ の一様な長方形で、高さ方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、はりは線形弾性体で、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）に従うものとする。
はりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値を、 単位で有効数字 3 桁で求めよ。
断面右は、はりの断面（縮尺ははりと異なる） 長さ の水平なまっすぐなはり が、左端 をピン支持、右端 をローラー支持で単純支持されている。 の中点を とし、区間 の全体だけに、鉛直下向きの等分布荷重 が加わっている（区間 には荷重がない）。はりの断面は幅 、高さ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で曲げられ、曲げ応力は単純曲げの理論（）で求められるものとする。このはりに生じる曲げ応力の大きさの最大値は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
はりの断面は幅 60 mm、高さ 120 mm の長方形 鋼のボルトを銅の円管（スリーブ）に通し、両端を頭部とナットで締め付けた組立体がある。温度 のとき、ナットはちょうど円管の端に接する位置まで締めてあり、ボルトにも円管にも応力は生じていない。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの長さと円管の長さはともに である。
ボルトの断面積は 、縦弾性係数は 、線膨張係数は である。円管の断面積は 、縦弾性係数は 、線膨張係数は である。
この組立体全体の温度を一様に 上げた。ボルトの頭部とナットは変形しない剛体とみなし、ねじ部の変形は無視する。ボルト・円管はともに弾性範囲内にあり、それぞれの断面には軸方向の応力が一様に生じるものとする。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの伸び [mm] を小数で正確に求めよ。
銅の円管鋼のボルト頭部ナット中心軸を含む断面図（縮尺は正確ではない） 同じ材料でできた、同じ長さの 2 本のまっすぐな丸軸がある。軸 1 は外径 、内径 の中空円形断面をもつ。軸 2 は中実円形断面をもち、その断面積は軸 1 の断面積と等しい。2 本の軸のそれぞれの両端に、大きさ の等しいねじりモーメントを互いに逆向きに加えた。
材料は弾性範囲内にあり、断面は平面のまま回転し（平面保持）、せん断応力は軸の中心からの距離に比例すると仮定する。軸 1 に生じる最大せん断応力を 、軸 2 に生じる最大せん断応力を とするとき、比 を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。
軸 1（中空）軸 2（中実）2 本の軸の断面（軸 2 の断面積は軸 1 と等しい） 長さ の水平な剛体の棒 がある。左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。 から右へ の点 と、右端 （ から ）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。
- 棒 1 は鋼製で、長さ 、断面積 、縦弾性係数 である。
- 棒 2 は黄銅製で、長さ 、断面積 、縦弾性係数 、線膨張係数 である。
はじめ、棒 は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 に鉛直下向きの荷重 を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 か。整数で求めよ。
ただし、棒 と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 の回転角は十分小さく、点 , は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。
棒 1（鋼）棒 2（黄銅）長さ のまっすぐな鋼の軸 があり、両端 , は剛体の壁に固定されていて回転できない。 から の点 を境に、部分 （長さ ）は外径 、内径 の中空円形断面、部分 （長さ ）は直径 の中実円形断面であり、2 つの部分は で同軸にしっかりと接合されている。軸全体の横弾性係数は である。
点 に、軸のまわりのねじりモーメント を加えた。このとき軸に生じる最大のせん断応力の大きさは何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
ただし、軸は弾性範囲内で変形し、各部分の断面は平面のまま回転する（円形断面の軸の初等ねじり理論が成り立つ）ものとする。断面が変わる の近くの応力集中は考えない。
ACB中空中実軸の太さは長さに比べて拡大して描いてある 長さ の水平なまっすぐなはり が、左端 で壁に固定された片持ちはりになっている（右端 は自由端）。はりの全長にわたって鉛直下向きの等分布荷重 が加わり、さらに自由端 には鉛直上向きの集中荷重 が加わっている。
はりの断面は全長にわたって一様な T 形で、上側のフランジ（幅 、厚さ ）の下面の中央に、ウェブ（厚さ 、高さ ）が鉛直に付いている（断面の全体の高さは ）。荷重は断面の対称軸を含む鉛直面内に加わる。
このはりに生じる最大の引張応力（曲げ応力）は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
ただし、はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形して、初等的なはりの理論（断面は平面を保ち、曲げ応力は中立軸からの距離に比例する）が成り立つものとする。
（B まで）断面右は断面の形（はりの側面図とは縮尺が異なる） 水平な天井から、鉛直な 3 本の棒で、まっすぐな剛体の水平なはり をつり下げる。はりの上の点 , , はこの順に並び、 である。, , にはそれぞれ棒 , , の下端がピンで取り付けられ、各棒の上端は天井にピンで取り付けられている。3 本の棒の長さはどれも である。棒 と棒 は鋼製（縦弾性係数 、断面積 ）、棒 はアルミニウム合金製（縦弾性係数 、断面積 ）である。荷重をかける前、はりは水平で、どの棒にも力ははたらいていない。
いま、 の中点 に鉛直下向きの荷重 を加えた。はりと棒の自重は無視し、棒はすべて弾性範囲内で変形するものとし、変形は小さいとして、はりの回転による棒の傾きは無視する。このとき、棒 に生じる軸力（引張を正とする）は何 か。正確な値で求めよ。
棒 （鋼）棒 （アルミ）棒 （鋼）直径 の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒を、内径 の穴のあいた板に通したい。板の温度は変えず、丸棒だけを一様に 冷やしたうえで、丸棒の両端に軸方向の引張荷重 を断面の中心線にそって加え、丸棒の直径をちょうど まで小さくする。
鋼の縦弾性係数を 、ポアソン比を 、線膨張係数を とする。丸棒は弾性範囲内で変形し、応力は断面内で一様（棒の端部の影響は無視）、丸棒は軸方向に自由に伸び縮みでき、荷重を加える前の断面積で応力を計算してよいものとする。必要な引張荷重 は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
鋼の丸棒（ 冷却）丸棒の側面図（縮尺は正確ではない） 長さ のまっすぐな中空の丸軸 がある。断面は全長にわたって一様な円環で、外径は 、内径は である。軸の材料の横弾性係数（せん断弾性係数）は である。軸の両端 , は、ともに剛体の壁に固定されていて回転できない。
端 を原点とし、軸にそって の向きに座標 （）をとる。この軸に、軸線のまわりのねじりモーメントを分布させて加える。位置 での単位長さあたりのねじりモーメントの大きさは （ は定数）で、向きは全長にわたって同じである。
材料は線形弾性体で、変形は微小とし、断面は平面を保ったまま剛体的に回転するものとする（初等的なねじり理論に従う）。このとき、軸の各断面の回転角（ねじれ角）の大きさの最大値を、, , , を用いて求めよ。回転角の単位はラジアンとする。
斜線の三角形は分布ねじりモーメントの大きさの分布を表す 水平な剛体の天井の上に 3 点 , , がこの順に一直線上に並び、 である。3 本のまっすぐな棒 , , の上端をそれぞれ , , で天井にピン接合し、下端を 1 点 でたがいにピン接合する。3 本の棒は同じ材料（縦弾性係数 ）でできており、断面積はどれも である。\n\n棒 , の自然長は で、この 2 本を自然長のまま下端どうしでつなぐと、その点は の真下で距離 の位置にきて、各棒は鉛直と の角をなす。一方、棒 は製作誤差のため、自然長が （）と短くつくられてしまった。そこで、組み立てのときに 3 本の棒の下端を無理に合わせて点 でピン接合した。その後、点 に鉛直下向きの荷重 を加えた。\n\n荷重 を加えたあとの棒 の軸力（引張を正とする）を、, , , , を用いて表せ。\n\nただし、棒は線形弾性体で、自重は無視する。変形は微小であり、棒の向きの変化は無視してよい（つり合いの式と伸びの計算には変形前の角度を用いる）。圧縮を受ける棒があっても座屈しないものとする。
組み立て後の状態の模式図（変形は誇張していない） 鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに 軸、鉛直上向きに 軸をとって次のように定める（）。
トラスは 9 本の部材 , , , , , , , , からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 はピン支持、節点 は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 ）でできた、直径 の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。
どの部材も座屈しないような荷重 の最大値を、, , を用いて表せ。
底面が の正方形、高さが のアルミニウム合金の直方体ブロックがある。このブロックを、内のりがちょうど の剛体の容器（底と 4 つの側壁をもつ）に、すき間なく、応力のない状態で入れた。容器の底と側壁は変形せず、ブロックとの間に摩擦はないものとする。
鉛直上向きを 軸の正の向き、水平な 2 つの側壁の法線方向を 軸、 軸とする。この状態から、ブロックの上面に剛体の板をのせて鉛直下向きの一様な圧縮応力 を加え（上面は自由に上下できる）、さらにブロック全体の温度を一様に 上げた。
アルミニウム合金の縦弾性係数を 、ポアソン比を 、線膨張係数を とし、材料は等方的な線形弾性体で、応力・ひずみはブロック内で一様とする。また、側壁はブロックを押し返すことはできるが、引っぱることはない。
はじめの状態と比べたブロックの高さの変化量（伸びを正とする）は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
アルミニウム合金剛体の容器に入れたブロック（鉛直断面） 剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 がある。左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 , は , の位置にあり、右端 は の位置にある（ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。
は鉛直な鋼の棒 1 で、 は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、 の真上で棒 から高さ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、 の真上で棒 から高さ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ 、断面積 、縦弾性係数 、棒 2 は長さ 、断面積 、縦弾性係数 である。
右端 に鉛直下向きの荷重 を加えた。棒 の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。
棒 1棒 2荷重を加える前の状態 鉛直面内にある 3 本の部材 , , からなる三角形のトラスがある。部材 は水平で、節点 は の上方にあり、、、、部材 の長さは である。節点 は固定したピン支点、節点 は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。
3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 ）でできた、直径 の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 に鉛直下向きの荷重 を加え、 を から徐々に大きくしていく。
部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 を、, , を用いて表せ。
ピン支点ローラー支点同じ材料（横弾性係数 ）でできた、中実円形断面の 2 本のまっすぐな丸軸を同軸に並べ、点 で端どうしをしっかりと接合して段付き軸 をつくった。部分 は直径 、長さ 、部分 は直径 、長さ である。軸の両端 , は剛体の壁に固定されていて、まったく回転できない。
接合部 に、軸のまわりのねじりモーメント （）を加えた。軸は弾性範囲内にあり、各部分では断面は平面のまま回転し、せん断応力は断面の中心からの距離に比例するものとする。段の部分での応力集中は無視する。このとき、軸全体に生じる最大のせん断応力の大きさを、, を用いて表せ。
軸を横から見た図（ は B に加えるねじりモーメント） 全長 の水平なまっすぐなはり がある。左端 をピン支持し、 から右へ の点 をローラー支持して、 から右端 までの が張り出した張り出しはりとする（ は自由端）。はりの全長 にわたって、鉛直下向きの等分布荷重 がかかっている。
はりの断面は全長にわたって一様な T 形で、上側のフランジは幅 ・厚さ 、その下のウェブは厚さ（幅）・高さ の長方形であり、ウェブはフランジの幅の中央についている（断面の全体の高さは ）。荷重は断面の対称軸を含む鉛直面内にかかる。
はりの自重は無視し、はりは線形弾性体として初等はり理論（平面保持の仮定）に従うものとする。はり全体で生じる曲げ応力のうち、最大の引張応力の大きさと最大の圧縮応力の大きさを、単位を として、この順に組で求めよ。
w = 4 kN/m4 m2 m100 mm120 mm20 mm20 mm断面左: はり（荷重と支え方）、右: 断面（フランジが上） 長さ のまっすぐな中実の丸軸 がある。この軸の断面は円形で、直径は端 で 、端 で であり、そのあいだでは からの軸方向の距離に比例して一様に変化する（円錐台形の軸）。軸の材料は一様で、横弾性係数は である。
軸の両端 , を、回転できないように剛体の壁に固定した。そのうえで、軸の中点 （ から距離 の断面）に、軸のまわりのねじりモーメント を加えた。
直径の変化はゆるやかで、各断面で一様な丸軸のねじりの式（ねじりモーメントを 、断面二次極モーメントを として単位長さあたりのねじれ角が ）が成り立つものとし、軸の自重は無視する。変形は弾性範囲内とする。端 で軸が壁から受けるねじりモーメントの大きさを、 を用いて表せ。
（軸のまわり）直径 直径軸を横から見た図（図は正確とは限りません） 長さ の水平なまっすぐなはり がある。左端 は壁に固定され（たわみもたわみ角も ）、右端 はローラーで単純支持されている（たわみが で、曲げモーメントを支えない）。はりの曲げ剛性 は一様である。
から右へ距離 （）の位置に、単位長さあたり の鉛直下向きの分布荷重が加わっている（ で 、 で になる三角形分布荷重。）。はりの自重は無視し、たわみは微小で、オイラー・ベルヌーイのはり理論（たわみ曲線の微分方程式）が成り立つものとする。
固定端 に生じる曲げモーメントの大きさを、, を用いて表せ。
平面内にある正方形 （頂点はこの順に並び、1 辺の長さ ）の形のトラスがある。4 本の辺 , , , と 2 本の対角線 , の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 , , , だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。
6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を 、断面積を 、断面二次モーメントを とする。頂点 と に、対角線 にそって互いに近づける向きに、大きさ の荷重を加える（）。荷重は から少しずつ大きくする。
どれかの部材で最初に座屈が起こるときの の値を、, , を用いて求めよ。
ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 （ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。
鉛直面内で、同じ高さにある 2 点 , （、 が左）を床にピン支持し、2 本のまっすぐな部材 , を節点 でピン結合した 2 部材トラスがある。 は より上にあり、、 である。節点 に鉛直下向きの荷重 を加える。
2 本の部材は同じ材料・同じ断面（縦弾性係数 、断面二次モーメント 。断面は円形で、どの向きにも曲がりにくさは同じ）でできており、それぞれ両端ピン支持の長柱としてオイラーの座屈荷重に従うものとする。部材の自重、部材の圧縮による変形、材料の降伏は無視する。どちらの部材も座屈しない の最大値（座屈が始まる荷重）を を用いて表せ。
条件に合う問題はありません。