材料力学の問題

長さ $L=1.5\mathrm{m}$、直径 $d=40\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

直径 $d=40\mathrm{mm}$ の中実丸軸がある。軸の左端を壁に固定し、右端に軸のまわりのねじりモーメント $T=400\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。

このとき軸に生じる最大せん断応力 ${\tau }_{\max }$ は何 MPa か。円周率 $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

長さ $L=2\mathrm{m}$、断面積 $A=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の一様な鋼の丸棒がある。棒の左端を壁に固定し、右端に棒の軸方向（右向き）の引張荷重 $P=40\mathrm{kN}$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、棒は弾性範囲内で変形し、自重は無視できるものとする。

このときの棒の伸び $\delta$ は何 mm か。整数で答えよ。

長さ $3\mathrm{m}$ の一様な棒 AB（断面積と縦弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に力ははたらいていない。棒の上で A から $1\mathrm{m}$ の点 C に、棒の軸方向に A から B へ向かう向きの荷重 $P=60\mathrm{kN}$ を加える。棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。

棒の AC の部分に生じる軸力の大きさは何 kN か。整数で答えよ。

長さ $1.2\mathrm{m}$ の一様な中実丸軸 AB（直径と横弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、回転しないように壁に固定する。A から $0.4\mathrm{m}$ の点 C に、軸のまわりのねじりモーメント $T_0=900\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。

軸の AC の部分が受けるねじりモーメントの大きさは何 $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ か。整数で答えよ。