軸荷重の応力・ひずみとポアソン比

軸荷重を受ける棒の垂直応力 $σ = P / A$ 、縦ひずみ $ε = σ / E$ 、伸び $δ = \frac{P L}{E A}$ と、横ひずみ $- ν ε$ から直径の変化量を求められる（段付き棒・直列につないだ棒の全体の伸びも含む）

前提

弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

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弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

説明

棒の両端を軸の方向に引っ張ったり押したりする（軸荷重をかける）と、棒はわずかに伸び縮みし、同時に太さもわずかに変わります。この技能では、断面にかかる力の密度である垂直応力 $σ = \frac{P}{A}$ 、長さあたりの伸びである縦ひずみ $ε = \frac{σ}{E}$ 、棒の伸び $δ = \frac{P L}{E A}$ 、およびポアソン比 $ν$ を使った直径の変化を求めます。太さの違う部分をつないだ段付き棒や、材料の違う棒を直列につないだ場合の全体の伸びも扱います。機械や建物の部材が荷重でどれだけ変形するか、壊れないかを見積もる最も基本的な計算です。

なぜそうしてよいのか

棒もばねと同じように、伸び $δ$ が小さい間は力 $P$ に比例して伸び、 $P = k δ$ が成り立ちます。ただし棒の「ばね定数」 $k$ は棒の形で変わります。同じ棒を 2 本並べて（断面積を 2 倍にして）引けば 1 本あたりの力は半分なので、同じ $P$ での伸びは半分、つまり $k$ は断面積 $A$ に比例します。同じ棒を 2 本縦につないで（長さを 2 倍にして）引けば各棒に同じ $P$ がかかり、それぞれが同じだけ伸びるので伸びは 2 倍、つまり $k$ は長さ $L$ に反比例します。そこで $k = \frac{E A}{L}$ と書くと、比例定数 $E$ は棒の形によらない材料だけで決まる定数（縦弾性係数、ヤング率）になります。

$P = \frac{E A}{L} δ$ を書き直すと $\frac{P}{A} = E \frac{δ}{L}$ です。左辺の $σ = \frac{P}{A}$ （単位面積あたりの力、垂直応力、単位 Pa $= N/ m^{2}$ ）と右辺の $ε = \frac{δ}{L}$ （もとの長さに対する伸びの割合、縦ひずみ、単位なし）を使えば $σ = E ε$ と、形によらない関係になります。段付き棒では、どの断面で仮想的に切っても、切り口の両側の部分のつり合いから断面に伝わる力は同じ $P$ です（途中に外力がない場合）。各部分はそれぞれの $A_{i}$ , $L_{i}$ で伸び、全体の伸びはそれらの和 $δ = \sum \frac{P L _{i}}{E _{i} A _{i}}$ になります（ばねの直列接続と同じ）。

棒が軸方向に伸びると、横方向（直径の方向）には縮みます。横方向のひずみ $ε^{'} = \frac{Δ d}{d}$ は縦ひずみに比例し、 $ε^{'} = - ν ε$ と書けます。この材料定数 $ν$ をポアソン比といい、金属ではおよそ $0.3$ です。符号のマイナスは、引っ張ると細くなり、押すと太くなることを表します。

手順

棒を断面積や材料が変わる部分ごとに分け、各部分の断面積 $A_{i}$ （直径 $d$ の円なら $A = \frac{π d ^{2}}{4}$ ）、長さ $L_{i}$ 、縦弾性係数 $E_{i}$ を書き出す。単位をそろえる（例: N と mm なら $E$ は $N/m m^{2} = MPa$ ）
各部分を仮想的に切り、つり合いから断面に伝わる軸力 $P_{i}$ を求める（引張を正）
各部分の応力 $σ_{i} = \frac{P _{i}}{A _{i}}$ 、ひずみ $ε_{i} = \frac{σ _{i}}{E _{i}}$ 、伸び $δ_{i} = ε_{i} L_{i} = \frac{P _{i} L _{i}}{E _{i} A _{i}}$ を求める
全体の伸びを $δ = \sum δ_{i}$ で求める
直径の変化が必要なら、横ひずみ $ε^{'} = - ν ε$ から $Δ d = ε^{'} d = - ν ε d$ を求める

例題

同じ材料（縦弾性係数 $E = 2.0 \times 1 0^{5} N/m m^{2}$ ）でできた段付き棒がある。部分 1 は断面積 $A_{1} = 200 m m^{2}$ 、長さ $L_{1} = 300 mm$ 、部分 2 は断面積 $A_{2} = 100 m m^{2}$ 、長さ $L_{2} = 200 mm$ で、部分 1 と部分 2 は一直線につながっている。部分 1 の端は壁に固定され、部分 2 の端に軸方向の引張荷重 $P = 20 kN$ がかかっている。棒の自重は無視し、変形はフックの法則に従うとする。棒全体の伸びを求めよ（単位は mm）。

例題の解答

手順 1: 単位を N と mm にそろえる。 $P = 20 kN = 2.0 \times 1 0^{4} N$ 、 $E = 2.0 \times 1 0^{5} N/m m^{2}$ 。

手順 2: 部分 2 のどこで切っても、切り口から先の部分のつり合いから軸力は $P$ 。部分 1 で切っても、切り口から先（部分 1 の残りと部分 2）には途中に外力がないので軸力はやはり $P$ 。よって $P_{1} = P_{2} = 2.0 \times 1 0^{4} N$ （引張）。

手順 3:
$σ_{1} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{4}}{200} = 100 N/m m^{2}, δ_{1} = \frac{σ _{1}}{E} L_{1} = \frac{100}{2.0 \times 1 0 ^{5}} \times 300 = 0.15 mm$
$σ_{2} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{4}}{100} = 200 N/m m^{2}, δ_{2} = \frac{σ _{2}}{E} L_{2} = \frac{200}{2.0 \times 1 0 ^{5}} \times 200 = 0.20 mm$

手順 4: $δ = δ_{1} + δ_{2} = 0.15 + 0.20 = 0.35 mm$ 。

答え: $0.35$

よくある誤り

段付き棒で、全体の長さと 1 つの断面積を使って $δ = \frac{P ( L _{1} + L _{2} )}{E A}$ としてしまう誤り。例題で $A_{1} = 200 m m^{2}$ を使うと $0.25 mm$ になる。正しくは部分ごとに $\frac{P L _{i}}{E A _{i}}$ を求めて足し、 $0.15 + 0.20 = 0.35 mm$
単位をそろえずに計算する誤り。 $1 GPa = 1 0^{9} Pa = 1 0^{3} N/m m^{2}$ 、 $1 m m^{2} = 1 0^{- 6} m^{2}$ 。例えば $E = 200 GPa$ を $200 N/m m^{2}$ として使うと伸びが 1000 倍になる。正しくは $E = 2.0 \times 1 0^{5} N/m m^{2}$
ポアソン比を伸び $δ$ や縦ひずみに直接かけて直径の変化としてしまう誤り。横ひずみは割合なので、直径の変化は $Δ d = - ν ε d$ 。例えば $d = 10 mm$ , $ε = 1.0 \times 1 0^{- 3}$ , $ν = 0.3$ なら $Δ d = - 0.3 \times 1.0 \times 1 0^{- 3} \times 10 = - 3.0 \times 1 0^{- 3} mm$ （細くなる）であり、 $- ν δ$ ではない
円形断面の面積を直径 $d$ で $A = π d^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $A = π (\frac{d}{2})^{2} = \frac{π d ^{2}}{4}$ 。これを誤ると応力と伸びが $\frac{1}{4}$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $L = 2 m$ 、断面積 $A = 200 m m^{2}$ の一様な鋼の丸棒がある。棒の左端を壁に固定し、右端に棒の軸方向（右向き）の引張荷重 $P = 40 kN$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E = 200 GPa$ とし、棒は弾性範囲内で変形し、自重は無視できるものとする。
このときの棒の伸び $δ$ は何 mm か。整数で答えよ。
$P = 40 kN$ $L = 2 m$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

熱ひずみと熱応力（大学物理材料力学）
はりの曲げ応力（大学物理材料力学）