材料力学の問題

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

水平な天井から、鉛直な 3 本の棒で、まっすぐな剛体の水平なはり $\mathrm{AC}$ をつり下げる。はりの上の点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ はこの順に並び、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1.0\mathrm{m}$ である。$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ にはそれぞれ棒 $1$, $2$, $3$ の下端がピンで取り付けられ、各棒の上端は天井にピンで取り付けられている。3 本の棒の長さはどれも $1.5\mathrm{m}$ である。棒 $1$ と棒 $3$ は鋼製（縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、断面積 $100\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）、棒 $2$ はアルミニウム合金製（縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）である。荷重をかける前、はりは水平で、どの棒にも力ははたらいていない。

いま、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $27\mathrm{kN}$ を加えた。はりと棒の自重は無視し、棒はすべて弾性範囲内で変形するものとし、変形は小さいとして、はりの回転による棒の傾きは無視する。このとき、棒 $3$ に生じる軸力（引張を正とする）は何 $\mathrm{kN}$ か。正確な値で求めよ。

剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 $\mathrm{OD}$ がある。左端 $\mathrm{O}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は $\mathrm{OB}=a$, $\mathrm{OC}=2a$ の位置にあり、右端 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{OD}=3a$ の位置にある（$a>0$ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。

$\mathrm{B}$ は鉛直な鋼の棒 1 で、$\mathrm{C}$ は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、$\mathrm{B}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_1$ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、$\mathrm{C}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_2$ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 $\mathrm{OD}$ は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$、棒 2 は長さ $L_2=0.7\mathrm{m}$、断面積 $A_2=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=70\mathrm{GPa}$ である。

右端 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。棒 $\mathrm{OD}$ の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 $\mathrm{D}$ の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。

まっすぐな鋼の棒 $\mathrm{AB}$ とアルミニウム合金の棒 $\mathrm{BC}$ を、点 $\mathrm{B}$ で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 $\mathrm{ABC}$ が、水平に置かれている。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 $\mathrm{C}$ の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は $\mathrm{C}$ と右の壁のあいだに ${\delta }_0=0.21\mathrm{mm}$ のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。

• 鋼 $\mathrm{AB}$：長さ $400\mathrm{mm}$、断面積 $400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
• アルミニウム合金 $\mathrm{BC}$：長さ $350\mathrm{mm}$、断面積 $500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $24\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 $\mathrm{BC}$ に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

長さ $2\mathrm{m}$ の水平なまっすぐな片持ちはり $\mathrm{AB}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁に固定され（変位も回転もできない）、右端 $\mathrm{B}$ は自由端である。$\mathrm{A}$ から右へ $1\mathrm{m}$ の点を $\mathrm{C}$ とする。はりには、区間 $\mathrm{CB}$（長さ $1\mathrm{m}$）に鉛直下向きの等分布荷重 $w=2kN/m$ がかかり、さらに自由端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの集中荷重 $P=1.5\mathrm{kN}$ がかかっている。はりの断面は全長にわたって一様な長方形で、幅 $b=50\mathrm{mm}$、高さ $h=120\mathrm{mm}$（高さの方向が鉛直）である。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形し、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）にしたがうものとする。このはりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。