材料力学の問題

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。

水平な天井から、鉛直な 3 本の棒で、まっすぐな剛体の水平なはり $\mathrm{AC}$ をつり下げる。はりの上の点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ はこの順に並び、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1.0\mathrm{m}$ である。$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ にはそれぞれ棒 $1$, $2$, $3$ の下端がピンで取り付けられ、各棒の上端は天井にピンで取り付けられている。3 本の棒の長さはどれも $1.5\mathrm{m}$ である。棒 $1$ と棒 $3$ は鋼製（縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、断面積 $100\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）、棒 $2$ はアルミニウム合金製（縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）である。荷重をかける前、はりは水平で、どの棒にも力ははたらいていない。

いま、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $27\mathrm{kN}$ を加えた。はりと棒の自重は無視し、棒はすべて弾性範囲内で変形するものとし、変形は小さいとして、はりの回転による棒の傾きは無視する。このとき、棒 $3$ に生じる軸力（引張を正とする）は何 $\mathrm{kN}$ か。正確な値で求めよ。

剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 $\mathrm{OD}$ がある。左端 $\mathrm{O}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は $\mathrm{OB}=a$, $\mathrm{OC}=2a$ の位置にあり、右端 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{OD}=3a$ の位置にある（$a>0$ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。

$\mathrm{B}$ は鉛直な鋼の棒 1 で、$\mathrm{C}$ は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、$\mathrm{B}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_1$ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、$\mathrm{C}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_2$ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 $\mathrm{OD}$ は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$、棒 2 は長さ $L_2=0.7\mathrm{m}$、断面積 $A_2=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=70\mathrm{GPa}$ である。

右端 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。棒 $\mathrm{OD}$ の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 $\mathrm{D}$ の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。

左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ $300\mathrm{mm}$ のアルミニウム棒と長さ $200\mathrm{mm}$ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。

各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 $A_1=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_1=70\mathrm{GPa}$、${\alpha }_1=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
- 鋼棒: 断面積 $A_2=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_2=200\mathrm{GPa}$、${\alpha }_2=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、$E_1,E_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ は温度によらず一定とする。

鋼のボルトを銅の円管（スリーブ）に通し、両端を頭部とナットで締め付けた組立体がある。温度 $T_0$ のとき、ナットはちょうど円管の端に接する位置まで締めてあり、ボルトにも円管にも応力は生じていない。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの長さと円管の長さはともに $L=500\mathrm{mm}$ である。

ボルトの断面積は $A_s=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数は $E_s=200\mathrm{GPa}$、線膨張係数は ${\alpha }_s=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。円管の断面積は $A_c=600\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数は $E_c=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数は ${\alpha }_c=17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

この組立体全体の温度を一様に $70\mathrm{K}$ 上げた。ボルトの頭部とナットは変形しない剛体とみなし、ねじ部の変形は無視する。ボルト・円管はともに弾性範囲内にあり、それぞれの断面には軸方向の応力が一様に生じるものとする。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの伸び $\Delta L$ [mm] を小数で正確に求めよ。