材料力学の問題

左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ $300\mathrm{mm}$ のアルミニウム棒と長さ $200\mathrm{mm}$ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。

各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 $A_1=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_1=70\mathrm{GPa}$、${\alpha }_1=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
- 鋼棒: 断面積 $A_2=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_2=200\mathrm{GPa}$、${\alpha }_2=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、$E_1,E_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ は温度によらず一定とする。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

直径 $d=20.012\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒を、内径 $20.000\mathrm{mm}$ の穴のあいた板に通したい。板の温度は変えず、丸棒だけを一様に $20\mathrm{K}$ 冷やしたうえで、丸棒の両端に軸方向の引張荷重 $P$ を断面の中心線にそって加え、丸棒の直径をちょうど $20.000\mathrm{mm}$ まで小さくする。

鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。丸棒は弾性範囲内で変形し、応力は断面内で一様（棒の端部の影響は無視）、丸棒は軸方向に自由に伸び縮みでき、荷重を加える前の断面積で応力を計算してよいものとする。必要な引張荷重 $P$ は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

長さ $1.5\mathrm{m}$ のまっすぐな鋼の軸 $\mathrm{AB}$ があり、両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ は剛体の壁に固定されていて回転できない。$\mathrm{A}$ から $0.6\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{C}$ を境に、部分 $\mathrm{AC}$（長さ $0.6\mathrm{m}$）は外径 $50\mathrm{mm}$、内径 $30\mathrm{mm}$ の中空円形断面、部分 $\mathrm{CB}$（長さ $0.9\mathrm{m}$）は直径 $50\mathrm{mm}$ の中実円形断面であり、2 つの部分は $\mathrm{C}$ で同軸にしっかりと接合されている。軸全体の横弾性係数は $G=80\mathrm{GPa}$ である。

点 $\mathrm{C}$ に、軸のまわりのねじりモーメント $T_0=3.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ を加えた。このとき軸に生じる最大のせん断応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、軸は弾性範囲内で変形し、各部分の断面は平面のまま回転する（円形断面の軸の初等ねじり理論が成り立つ）ものとする。断面が変わる $\mathrm{C}$ の近くの応力集中は考えない。

水平な天井から、鉛直な 3 本の棒で、まっすぐな剛体の水平なはり $\mathrm{AC}$ をつり下げる。はりの上の点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ はこの順に並び、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1.0\mathrm{m}$ である。$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ にはそれぞれ棒 $1$, $2$, $3$ の下端がピンで取り付けられ、各棒の上端は天井にピンで取り付けられている。3 本の棒の長さはどれも $1.5\mathrm{m}$ である。棒 $1$ と棒 $3$ は鋼製（縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、断面積 $100\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）、棒 $2$ はアルミニウム合金製（縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）である。荷重をかける前、はりは水平で、どの棒にも力ははたらいていない。

いま、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $27\mathrm{kN}$ を加えた。はりと棒の自重は無視し、棒はすべて弾性範囲内で変形するものとし、変形は小さいとして、はりの回転による棒の傾きは無視する。このとき、棒 $3$ に生じる軸力（引張を正とする）は何 $\mathrm{kN}$ か。正確な値で求めよ。