軸荷重の不静定問題

つり合いの式だけでは軸力が決まらない系（直列・並列の異種材料の棒、ボルトと円管の組立体、剛体棒を複数の棒でつったもの）で、変形の適合条件（伸びの和・剛体棒の変位の比例関係など）をつり合いと連立して、各部材の軸力・応力と変位を求められる（温度変化を含む場合も）

前提

熱ひずみと熱応力（大学物理材料力学）
剛体のつり合い（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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剛体のつり合い（高校物理力と運動）

説明

1 本の棒を引っ張るだけなら、つり合いの式から軸力がすぐ決まります。しかし、2 本の棒を並べて同じ板を支えたり、棒の両端を壁に固定して途中に荷重をかけたりすると、未知の力の数がつり合いの式の数より多くなり、つり合いだけでは軸力が決まりません。このような問題を不静定問題といいます。この技能では、「部材どうしがつながっているので、伸びの間に決まった関係がある」という条件（変形の適合条件）をつり合いの式と連立して、各部材の軸力・応力・変位を求められるようになります。鉄筋コンクリートの柱、ボルトで締めた部品、複数のワイヤでつった構造などの設計に使われます。

なぜそうしてよいのか

棒の伸びと軸力の間には、フックの法則から $δ = \frac{N L}{E A}$ （温度変化 $Δ T$ があれば $δ = \frac{N L}{E A} + α L Δ T$ ）という関係があります。つまり、各部材の伸びがわかれば軸力もわかり、逆も成り立ちます。不静定問題で足りない式は、部材がばらばらに伸び縮みできないという幾何学的な条件から得られます。たとえば、2 本の棒の両端が同じ 2 枚の変形しない板（剛体）に固定されていれば、2 本の伸びは等しい（並列）。両端を壁に固定した棒を途中で 2 区間に分けたら、2 区間の伸びの和は 0（直列）。ボルトとそれを通した円管をナットで締めれば、ボルトの伸びと円管の縮みが組立てのときのずれと合う。1 点をちょうつがいで支えた剛体棒を何本かの棒でつれば、剛体棒は傾くだけなので、各つり棒の伸びはちょうつがいからの距離に比例する。

これらの適合条件を伸びの式 $δ_{i} = \frac{N _{i} L _{i}}{E _{i} A _{i}} (+ α_{i} L_{i} Δ T)$ で軸力の式に書き直せば、つり合いの式と合わせて未知数と同じ数の式がそろい、連立方程式として解けます。たとえば並列の 2 本では、つり合い $N_{1} + N_{2} = P$ と適合条件 $\frac{N _{1} L}{E _{1} A _{1}} = \frac{N _{2} L}{E _{2} A _{2}}$ から、荷重は「伸びにくさ」 $\frac{E A}{L}$ に比例して分担され、 $N_{1} = \frac{E _{1} A _{1}}{E _{1} A _{1} + E _{2} A _{2}} P$ となります。硬い（ $E A$ が大きい）部材ほど多くの荷重を受け持つ、という直観に合う結果です。

軸力の向きを最初から決めつけると、適合条件の符号を間違えやすくなります。そこで、すべての軸力を引張（正）と仮定し、伸びも伸長を正として式を立てます。計算結果が負なら、その部材は圧縮です。

手順

部材ごとに軸力 $N_{i}$ を引張を正として置き、自由体図をかいてつり合いの式（力、必要ならモーメント）を立てる。未知数の数が式の数より多いことを確かめる。
部材のつながり方から変形の適合条件を書く（並列: $δ_{1} = δ_{2}$ 、両端固定の直列: $δ_{1} + δ_{2} = 0$ 、剛体棒: 伸びがちょうつがいからの距離に比例、組立体: 伸びと縮みの和が組立てのずれに等しい、など）。
各部材の伸びを軸力で表す: $δ_{i} = \frac{N _{i} L _{i}}{E _{i} A _{i}}$ （温度変化があれば $+ α_{i} L_{i} Δ T$ を加える）。
これを適合条件に代入し、つり合いの式と連立して $N_{i}$ を求める。
応力 $σ_{i} = \frac{N _{i}}{A _{i}}$ や変位 $δ_{i}$ を求め、符号から引張か圧縮かを判断する。

例題

長さの等しい鋼の棒（断面積 $100 mm^{2}$ 、縦弾性係数 $200 GPa$ ）とアルミニウムの棒（断面積 $300 mm^{2}$ 、縦弾性係数 $70 GPa$ ）を平行に立て、両端をそれぞれ同じ 2 枚の剛体の板に固定した。下の板を床に置き、上の板の上から 2 本の棒の軸に平行に、合計 $41 kN$ の圧縮荷重を加えた。板は傾かずに平行に動くものとし、棒の座屈と自重は考えない。鋼の棒が受け持つ圧縮力の大きさを $kN$ 単位で求めよ。

例題の解答

【手順 1】鋼の軸力を $N_{s}$ 、アルミニウムの軸力を $N_{a}$ （引張を正、単位 kN）とする。上の板のつり合いより $N_{s} + N_{a} = - 41$ 。未知数 2 つに対して式は 1 本なので、つり合いだけでは決まらない。

【手順 2】2 本の棒は同じ 2 枚の剛体の板にはさまれ、板は平行に動くので、2 本の伸びは等しい: $δ_{s} = δ_{a}$ 。

【手順 3】棒の長さを $L$ とすると $δ_{s} = \frac{N _{s} L}{E _{s} A _{s}}$ 、 $δ_{a} = \frac{N _{a} L}{E _{a} A _{a}}$ 。ここで $E_{s} A_{s} = 200 \times 1 0^{3} N/m m^{2} \times 100 m m^{2} = 2.0 \times 1 0^{7} N$ 、 $E_{a} A_{a} = 70 \times 1 0^{3} \times 300 = 2.1 \times 1 0^{7} N$ 。

【手順 4】適合条件より $\frac{N _{s}}{2.0 \times 1 0 ^{7}} = \frac{N _{a}}{2.1 \times 1 0 ^{7}}$ 、すなわち $N_{a} = \frac{21}{20} N_{s}$ 。つり合いに代入して $N_{s} (1 + \frac{21}{20}) = - 41$ 、 $N_{s} = - 41 \times \frac{20}{41} = - 20$ 。このとき $N_{a} = - 21$ 。

【手順 5】 $N_{s} = - 20 kN < 0$ なので鋼の棒は圧縮で、受け持つ圧縮力の大きさは $20 kN$ （応力は $- \frac{20000}{100} = - 200 MPa$ ）。アルミニウムの棒は $21 kN$ の圧縮（応力 $- 70 MPa$ ）。

答え: $20$

よくある誤り

並列の部材で荷重を断面積の比で分けてしまう誤り。例で $N_{s} = 41 \times \frac{100}{400} = 10.25 kN$ としてしまう。正しくは伸びが等しい条件から $E A$ （長さが違えば $\frac{E A}{L}$ ）の比で分担し、 $N_{s} = 41 \times \frac{2.0}{2.0 + 2.1} = 20 kN$ 。
並列の部材で応力が等しいとしてしまう誤り。 $σ_{s} = σ_{a} = \frac{41000}{400} = 102.5 MPa$ とする。正しくは等しいのはひずみ（伸び）で、 $\frac{σ _{s}}{E _{s}} = \frac{σ _{a}}{E _{a}}$ より縦弾性係数の大きい鋼のほうが応力が大きい（ $200 MPa$ と $70 MPa$ ）。
両端を壁に固定した直列の棒で、適合条件を $δ_{1} = δ_{2}$ としてしまう誤り。途中の点に荷重を加えた棒で 2 区間の伸びを等しいとすると誤った軸力になる。正しくは全長が変わらないので $δ_{1} + δ_{2} = \frac{N _{1} L _{1}}{E _{1} A _{1}} + \frac{N _{2} L _{2}}{E _{2} A _{2}} = 0$ 。
温度変化を含む問題で熱ひずみの項を落とす誤り。異種材料の並列棒を加熱したときに $\frac{N _{1}}{E _{1} A _{1}} = \frac{N _{2}}{E _{2} A _{2}}$ としてしまう。正しくは $\frac{N _{1}}{E _{1} A _{1}} + α_{1} Δ T = \frac{N _{2}}{E _{2} A _{2}} + α_{2} Δ T$ とし、外力がなければ $N_{1} + N_{2} = 0$ と連立する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $3 m$ の一様な棒 AB（断面積と縦弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に力ははたらいていない。棒の上で A から $1 m$ の点 C に、棒の軸方向に A から B へ向かう向きの荷重 $P = 60 kN$ を加える。棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。
棒の AC の部分に生じる軸力の大きさは何 kN か。整数で答えよ。
$A$ $B$ $C$ $P = 60 kN$ $1 m$ $3 m$

軸荷重の不静定問題

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題