材料力学の問題

まっすぐな鋼の棒 $\mathrm{AB}$ とアルミニウム合金の棒 $\mathrm{BC}$ を、点 $\mathrm{B}$ で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 $\mathrm{ABC}$ が、水平に置かれている。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 $\mathrm{C}$ の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は $\mathrm{C}$ と右の壁のあいだに ${\delta }_0=0.21\mathrm{mm}$ のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。

• 鋼 $\mathrm{AB}$：長さ $400\mathrm{mm}$、断面積 $400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
• アルミニウム合金 $\mathrm{BC}$：長さ $350\mathrm{mm}$、断面積 $500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $24\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 $\mathrm{BC}$ に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

長さ $L=1.5\mathrm{m}$、直径 $d=40\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $2\mathrm{m}$ の水平なまっすぐな片持ちはり $\mathrm{AB}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁に固定され、右端 $\mathrm{B}$ は自由端である。はりの全長にわたって、鉛直下向きに強さ $w=3kN/m$ の等分布荷重が加わっている。

はりの断面は、幅 $b=60\mathrm{mm}$、高さ $h=100\mathrm{mm}$ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、材料は弾性範囲内にあり、曲げ応力は単純曲げの理論（平面保持、応力は中立軸からの距離に比例）で求められるものとする。

はりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。

長さ $2\mathrm{m}$ の水平なまっすぐな片持ちはり $\mathrm{AB}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁に固定され（変位も回転もできない）、右端 $\mathrm{B}$ は自由端である。$\mathrm{A}$ から右へ $1\mathrm{m}$ の点を $\mathrm{C}$ とする。はりには、区間 $\mathrm{CB}$（長さ $1\mathrm{m}$）に鉛直下向きの等分布荷重 $w=2kN/m$ がかかり、さらに自由端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの集中荷重 $P=1.5\mathrm{kN}$ がかかっている。はりの断面は全長にわたって一様な長方形で、幅 $b=50\mathrm{mm}$、高さ $h=120\mathrm{mm}$（高さの方向が鉛直）である。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形し、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）にしたがうものとする。このはりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。