材料力学の問題

直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒の両端に、軸方向の引張荷重 $P=50\mathrm{kN}$ を断面の中心線にそって加えた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。棒は弾性範囲内で変形し、断面には垂直応力が一様に生じ、横方向のひずみも断面内で一様であるとする。荷重を加えたことによる丸棒の直径の減少量は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $L=2\mathrm{m}$ の真っすぐな鋼の柱がある。柱の両端はピン支持（回転は自由で、横方向には動かない）で、上端に柱の軸方向の圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、柱の断面の最小の断面二次モーメントを $I=2.0\times 10^4\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$ とする。柱ははじめ完全に真っすぐで、荷重は断面の図心に加わり、座屈するまで材料は弾性範囲内にあるものとする。

この柱のオイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}$ は何 kN か。円周率 $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

長さ $2\mathrm{m}$ の水平なまっすぐな片持ちはり $\mathrm{AB}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁に固定され（変位も回転もできない）、右端 $\mathrm{B}$ は自由端である。$\mathrm{A}$ から右へ $1\mathrm{m}$ の点を $\mathrm{C}$ とする。はりには、区間 $\mathrm{CB}$（長さ $1\mathrm{m}$）に鉛直下向きの等分布荷重 $w=2kN/m$ がかかり、さらに自由端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの集中荷重 $P=1.5\mathrm{kN}$ がかかっている。はりの断面は全長にわたって一様な長方形で、幅 $b=50\mathrm{mm}$、高さ $h=120\mathrm{mm}$（高さの方向が鉛直）である。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形し、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）にしたがうものとする。このはりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

鉛直面内にある正三角形 $\mathrm{ABC}$ の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さはどれも $L$ である。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にある。各節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は摩擦のないピンで結合されている。支点 $\mathrm{A}$ は床にピン支持され、支点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(P>0)$ を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は $E$ である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$（$I$ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 $P$ の最大値を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

長さ $2\mathrm{m}$ の水平なまっすぐな片持ちはり $\mathrm{AB}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁に固定され、右端 $\mathrm{B}$ は自由端である。はりの全長にわたって、鉛直下向きに強さ $w=3kN/m$ の等分布荷重が加わっている。

はりの断面は、幅 $b=60\mathrm{mm}$、高さ $h=100\mathrm{mm}$ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、材料は弾性範囲内にあり、曲げ応力は単純曲げの理論（平面保持、応力は中立軸からの距離に比例）で求められるものとする。

はりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。