材料力学の問題

直径 $d=20.012\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒を、内径 $20.000\mathrm{mm}$ の穴のあいた板に通したい。板の温度は変えず、丸棒だけを一様に $20\mathrm{K}$ 冷やしたうえで、丸棒の両端に軸方向の引張荷重 $P$ を断面の中心線にそって加え、丸棒の直径をちょうど $20.000\mathrm{mm}$ まで小さくする。

鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。丸棒は弾性範囲内で変形し、応力は断面内で一様（棒の端部の影響は無視）、丸棒は軸方向に自由に伸び縮みでき、荷重を加える前の断面積で応力を計算してよいものとする。必要な引張荷重 $P$ は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $L=1.5\mathrm{m}$、直径 $d=40\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $L=2\mathrm{m}$、断面積 $A=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の一様な鋼の丸棒がある。棒の左端を壁に固定し、右端に棒の軸方向（右向き）の引張荷重 $P=40\mathrm{kN}$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、棒は弾性範囲内で変形し、自重は無視できるものとする。

このときの棒の伸び $\delta$ は何 mm か。整数で答えよ。

長さ $L=500\mathrm{mm}$、直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 $T_0$ のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。

この状態から丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ だけ上げた。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。

次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。

加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 $\mu \mathrm{m}$ 増加したか。正確な値で求めよ。