材料力学の問題

長さ $L=500\mathrm{mm}$、直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 $T_0$ のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。

この状態から丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ だけ上げた。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。

次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。

加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 $\mu \mathrm{m}$ 増加したか。正確な値で求めよ。

直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒の両端に、軸方向の引張荷重 $P=50\mathrm{kN}$ を断面の中心線にそって加えた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。棒は弾性範囲内で変形し、断面には垂直応力が一様に生じ、横方向のひずみも断面内で一様であるとする。荷重を加えたことによる丸棒の直径の減少量は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

直径 $d=20.012\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒を、内径 $20.000\mathrm{mm}$ の穴のあいた板に通したい。板の温度は変えず、丸棒だけを一様に $20\mathrm{K}$ 冷やしたうえで、丸棒の両端に軸方向の引張荷重 $P$ を断面の中心線にそって加え、丸棒の直径をちょうど $20.000\mathrm{mm}$ まで小さくする。

鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。丸棒は弾性範囲内で変形し、応力は断面内で一様（棒の端部の影響は無視）、丸棒は軸方向に自由に伸び縮みでき、荷重を加える前の断面積で応力を計算してよいものとする。必要な引張荷重 $P$ は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

まっすぐな鋼の棒 $\mathrm{AB}$ とアルミニウム合金の棒 $\mathrm{BC}$ を、点 $\mathrm{B}$ で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 $\mathrm{ABC}$ が、水平に置かれている。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 $\mathrm{C}$ の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は $\mathrm{C}$ と右の壁のあいだに ${\delta }_0=0.21\mathrm{mm}$ のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。

• 鋼 $\mathrm{AB}$：長さ $400\mathrm{mm}$、断面積 $400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
• アルミニウム合金 $\mathrm{BC}$：長さ $350\mathrm{mm}$、断面積 $500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $24\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 $\mathrm{BC}$ に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ $300\mathrm{mm}$ のアルミニウム棒と長さ $200\mathrm{mm}$ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。

各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 $A_1=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_1=70\mathrm{GPa}$、${\alpha }_1=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
- 鋼棒: 断面積 $A_2=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_2=200\mathrm{GPa}$、${\alpha }_2=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、$E_1,E_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ は温度によらず一定とする。