材料力学の問題

左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ $300\mathrm{mm}$ のアルミニウム棒と長さ $200\mathrm{mm}$ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。

各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 $A_1=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_1=70\mathrm{GPa}$、${\alpha }_1=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
- 鋼棒: 断面積 $A_2=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_2=200\mathrm{GPa}$、${\alpha }_2=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、$E_1,E_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ は温度によらず一定とする。

長さ $L=500\mathrm{mm}$、直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 $T_0$ のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。

この状態から丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ だけ上げた。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。

次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。

加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 $\mu \mathrm{m}$ 増加したか。正確な値で求めよ。

鋼管の内部にコンクリートをすき間なく詰めた、鉛直な短い柱がある。鋼管とコンクリートの長さは等しく、柱の上端と下端はどちらも剛体の板にしっかりと接している。下の板は床に固定されており、上の板の中央に鉛直下向きの圧縮荷重 $P=540\mathrm{kN}$ を加えたところ、上の板は傾かずに平行に下がった。

鋼管の断面積を $A_s=2000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数を $E_s=200\mathrm{GPa}$、コンクリートの断面積を $A_c=20000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数を $E_c=25\mathrm{GPa}$ とする。荷重を加える前、鋼管にもコンクリートにも応力は生じていなかった。どちらの材料も弾性範囲内にあり、応力はそれぞれの断面に一様に分布するものとする。柱と板の自重、座屈、鋼管とコンクリートのあいだの摩擦は無視する。

鋼管に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。