熱ひずみと熱応力

熱ひずみ $α Δ T$ と応力によるひずみの和 $ε = \frac{σ}{E} + α Δ T$ を使い、両端を固定した棒の熱応力 $σ = - E α Δ T$ や、すき間がある場合に壁に接してから生じる応力を求められる

前提

軸荷重の応力・ひずみとポアソン比（大学物理材料力学）
熱膨張（高校物理熱と気体（知識））

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説明

棒は温度が上がると伸び、下がると縮みます。自由に伸び縮みできれば応力は生じませんが、両端が壁などで固定されていて伸び縮みが妨げられると、棒の内部に応力（熱応力）が生じます。この技能では、全体のひずみを「温度変化による熱ひずみ」と「応力によるひずみ」の和として表し、両端固定の棒の熱応力や、すき間がある棒が壁に接してから生じる応力を求められるようになります。レールや配管、橋の継ぎ目にすき間を設ける理由もこの計算で説明できます。

なぜそうしてよいのか

長さ $L$ の棒を自由な状態で温度を $Δ T$ だけ上げると、伸びは長さと温度変化に比例し、 $α L Δ T$ となります。比例定数 $α$ を線膨張係数といい、単位長さあたりの伸び、つまり熱によるひずみ（熱ひずみ）は $α Δ T$ です。 $Δ T < 0$ （冷やした）ときは負になり縮みを表します。一方、軸方向の応力 $σ$ （引張を正）が加わると、フックの法則により $\frac{σ}{E}$ のひずみが生じます。応力が小さい範囲ではこの 2 つの効果は互いに独立に足し合わさるので、全体のひずみは
$ε = \frac{σ}{E} + α Δ T$
と書けます。ここで $ε$ は実際の長さの変化を元の長さで割ったものです。

両端が動かない壁に固定されていると、棒の長さは変わらないので $ε = 0$ です。上の式から
$σ = - E α Δ T$
が得られます。温度が上がる（ $Δ T > 0$ ）と $σ < 0$ 、すなわち圧縮応力になります。直観的には「熱で伸びようとした分 $α L Δ T$ を、壁が押し戻して長さ 0 の変化に縮めている」ので、その縮め分に相当する圧縮応力が生じるということです。この応力は棒の長さや断面積によらないことにも注意しましょう。

棒の一端と壁の間にすき間 $δ_{0}$ があるときは、熱による伸び $α L Δ T$ がすき間 $δ_{0}$ 以下なら壁に届かず応力は 0 です。 $α L Δ T > δ_{0}$ になると壁に接し、実際の伸びは $δ_{0}$ に制限されるので $ε = \frac{δ _{0}}{L}$ とおいて $σ = E (\frac{δ _{0}}{L} - α Δ T)$ （負、すなわち圧縮）となります。

手順

温度変化 $Δ T$ （上昇を正）と、線膨張係数 $α$ ・縦弾性係数 $E$ ・長さ $L$ を確認し、単位をそろえる（応力を Pa で出すなら $E$ も Pa にする）。
自由に伸びたときの熱による伸び $α L Δ T$ を求める。
棒の実際の伸び $δ$ を拘束の条件から決める。両端固定なら $δ = 0$ 。すき間 $δ_{0}$ があるときは、 $α L Δ T \leq δ_{0}$ なら $σ = 0$ で終わり、 $α L Δ T > δ_{0}$ なら $δ = δ_{0}$ 。
$ε = \frac{δ}{L} = \frac{σ}{E} + α Δ T$ を $σ$ について解く: $σ = E (\frac{δ}{L} - α Δ T)$ 。
$σ$ の符号で引張（正）か圧縮（負）かを判断し、問われた単位に直す。

例題

長さ $2 m$ の鋼の棒の両端が、動かない壁に固定されている。はじめ棒に応力はない。この状態から棒全体の温度を一様に $50 K$ 上げた。鋼の縦弾性係数を $E = 200 GPa$ 、線膨張係数を $α = 1.2 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ とし、壁は変形しないものとする。引張を正として、棒に生じる軸方向の応力を $MPa$ 単位で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $Δ T = + 50 K$ 、 $E = 200 GPa = 2.0 \times 1 0^{11} Pa$ 、 $α = 1.2 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ 、 $L = 2 m$ 。

【手順 2】自由に伸びたときの伸びは $α L Δ T = 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 2 \times 50 = 1.2 \times 1 0^{- 3} m$ （ $1.2 mm$ ）。

【手順 3】両端が固定されているので実際の伸びは $δ = 0$ 、すなわち $ε = 0$ 。

【手順 4】 $0 = \frac{σ}{E} + α Δ T$ より
$σ = - E α Δ T = - 2.0 \times 1 0^{11} \times 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 50 = - 1.2 \times 1 0^{8} Pa$

【手順 5】 $σ < 0$ なので圧縮応力で、 $1 MPa = 1 0^{6} Pa$ より $σ = - 120 MPa$ （大きさ $120 MPa$ の圧縮）。棒の長さ $2 m$ は答えに影響しない。

答え: $- 120$

よくある誤り

両端固定の熱応力を引張と考えて $σ = + E α Δ T$ としてしまう誤り。正しくは $ε = \frac{σ}{E} + α Δ T = 0$ から $σ = - E α Δ T$ で、加熱（ $Δ T > 0$ ）なら圧縮、冷却（ $Δ T < 0$ ）なら引張になる。
熱応力の式に長さを入れて $σ = E α L Δ T$ としてしまう誤り（単位も合わない）。正しくはひずみは伸びを長さで割った量なので、両端固定では $σ = - E α Δ T$ と長さによらない。
すき間 $δ_{0}$ があるのに、すき間を無視して $σ = - E α Δ T$ としてしまう、またはすき間を足して $σ = - E (α Δ T + \frac{δ _{0}}{L})$ としてしまう誤り。正しくは、すき間の分だけは自由に伸びられるので、 $α L Δ T > δ_{0}$ のとき $σ = - E (α Δ T - \frac{δ _{0}}{L})$ 、 $α L Δ T \leq δ_{0}$ なら $σ = 0$ 。
単位をそろえずに計算する誤り。 $E = 200 GPa$ を $200$ のまま使って $σ = - 200 \times 1.2 \times 1 0^{- 5} \times 50 = - 0.12$ を MPa と答えてしまう。正しくは $- 0.12 GPa = - 120 MPa$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一様な断面をもつ鋼の棒の両端を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に応力は生じていない。この状態から棒全体の温度を一様に $40 K$ 上げた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E = 200 GPa$ 、線膨張係数を $α = 1.2 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ とし、棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。
このとき棒に生じる圧縮応力の大きさは何 MPa か。整数で答えよ。
鋼の棒（温度を $40 K$ 上げる）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

軸荷重の不静定問題（大学物理材料力学）
3 軸応力の一般化フックの法則（大学物理材料力学）