材料力学の問題

長さ $3\mathrm{m}$ の一様な棒 AB（断面積と縦弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に力ははたらいていない。棒の上で A から $1\mathrm{m}$ の点 C に、棒の軸方向に A から B へ向かう向きの荷重 $P=60\mathrm{kN}$ を加える。棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。

棒の AC の部分に生じる軸力の大きさは何 kN か。整数で答えよ。

長さ $L=2\mathrm{m}$、断面積 $A=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の一様な鋼の丸棒がある。棒の左端を壁に固定し、右端に棒の軸方向（右向き）の引張荷重 $P=40\mathrm{kN}$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、棒は弾性範囲内で変形し、自重は無視できるものとする。

このときの棒の伸び $\delta$ は何 mm か。整数で答えよ。

まっすぐな鋼の棒 $\mathrm{AB}$ とアルミニウム合金の棒 $\mathrm{BC}$ を、点 $\mathrm{B}$ で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 $\mathrm{ABC}$ が、水平に置かれている。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 $\mathrm{C}$ の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は $\mathrm{C}$ と右の壁のあいだに ${\delta }_0=0.21\mathrm{mm}$ のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。

• 鋼 $\mathrm{AB}$：長さ $400\mathrm{mm}$、断面積 $400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
• アルミニウム合金 $\mathrm{BC}$：長さ $350\mathrm{mm}$、断面積 $500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $24\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 $\mathrm{BC}$ に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

直径 $d=40\mathrm{mm}$ の中実丸軸がある。軸の左端を壁に固定し、右端に軸のまわりのねじりモーメント $T=400\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。

このとき軸に生じる最大せん断応力 ${\tau }_{\max }$ は何 MPa か。円周率 $\pi$ を含む正確な値で答えよ。