材料力学の問題

A から B への向きを正とし、棒の断面積を $A$、縦弾性係数を $E$ とする。壁が棒に及ぼす反力を、A では大きさ $R_A$（負の向き）、B では大きさ $R_B$（負の向き）と仮定する。

手順 1: つり合いの式 棒全体の力のつり合いから
$$R_A+R_B=P=60(1)$$
未知数が 2 つで式が 1 つなので、つり合いだけでは決まらない（不静定）。

手順 2: 各部分の軸力 引張を正とする。
- AC の部分（左側に壁 A の反力 $R_A$ が負の向きにはたらく）: 軸力 $N_{AC}=R_A$（引張）
- CB の部分（右側に壁 B の反力 $R_B$ が負の向きにはたらく）: 軸力 $N_{CB}=-R_B$（圧縮）

手順 3: 変形の適合条件 両端が固定されているので、棒全体の長さは変わらない。AC の伸びと CB の伸びの和が $0$ になる。
$$\frac{N_{AC}\times 1}{EA}+\frac{N_{CB}\times 2}{EA}=0⟹R_A-2R_B=0(2)$$

手順 4: 連立して解く $(2)$ より $R_A=2R_B$。これを $(1)$ に代入して $3R_B=60$、$R_B=20\mathrm{kN}$、$R_A=40\mathrm{kN}$。

よって AC の部分の軸力は $N_{AC}=40\mathrm{kN}$（引張）で、大きさは $40\mathrm{kN}$ である。（CB の部分は $20\mathrm{kN}$ の圧縮。）

A から B へ向かう向きを $x$ 軸の正とする。$AC=1\mathrm{m}$、$CB=2\mathrm{m}$。壁が棒に及ぼす力を、A 側で $R_A$（$-x$ 向き）、B 側で $R_B$（$-x$ 向きに棒を押す向き、すなわち壁が棒を押し返す力）とすると、力のつり合いは $P=R_A+R_B$（$R_A,R_B>0$）。
C に $+x$ 向きの荷重が加わるので、AC 部は引張（軸力 $N_{AC}=+R_A$）、CB 部は圧縮（軸力 $N_{CB}=-R_B$）になる。

変形の適合条件: 両端が固定されているので棒全体の伸びは 0。AC の伸びは $\frac{R_A\cdot 1}{EA}$、CB の縮みは $\frac{R_B\cdot 2}{EA}$ で
$$\frac{R_A\cdot 1}{EA}-\frac{R_B\cdot 2}{EA}=0\Rightarrow R_A=2R_B.$$
つり合いと合わせて $3R_B=P=60$ より $R_B=20\mathrm{kN}$、$R_A=40\mathrm{kN}$。

よって AC 部の軸力の大きさは $40\mathrm{kN}$（引張）、CB 部は $20\mathrm{kN}$（圧縮）。

検算: $R_A+R_B=40+20=60=P$。AC の伸び $40\times 1=40$、CB の縮み $20\times 2=40$（$/EA$）で等しく、全長の変化は 0。一般に反力は荷重点から遠い側の長さに比例して分配され、A 側の反力は $P\cdot \frac{CB}{AB}=60\times \frac{2}{3}=40\mathrm{kN}$。