材料力学の問題

直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒の両端に、軸方向の引張荷重 $P=50\mathrm{kN}$ を断面の中心線にそって加えた。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。棒は弾性範囲内で変形し、断面には垂直応力が一様に生じ、横方向のひずみも断面内で一様であるとする。荷重を加えたことによる丸棒の直径の減少量は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

鋼のボルトを銅の円管（スリーブ）に通し、両端を頭部とナットで締め付けた組立体がある。温度 $T_0$ のとき、ナットはちょうど円管の端に接する位置まで締めてあり、ボルトにも円管にも応力は生じていない。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの長さと円管の長さはともに $L=500\mathrm{mm}$ である。

ボルトの断面積は $A_s=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数は $E_s=200\mathrm{GPa}$、線膨張係数は ${\alpha }_s=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。円管の断面積は $A_c=600\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数は $E_c=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数は ${\alpha }_c=17\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

この組立体全体の温度を一様に $70\mathrm{K}$ 上げた。ボルトの頭部とナットは変形しない剛体とみなし、ねじ部の変形は無視する。ボルト・円管はともに弾性範囲内にあり、それぞれの断面には軸方向の応力が一様に生じるものとする。このとき、ボルトの頭部とナットのあいだのボルトの伸び $\Delta L$ [mm] を小数で正確に求めよ。

長さ $L=500\mathrm{mm}$、直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 $T_0$ のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。

この状態から丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ だけ上げた。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。

次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。

加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 $\mu \mathrm{m}$ 増加したか。正確な値で求めよ。