材料力学の問題

まっすぐな鋼の棒 $\mathrm{AB}$ とアルミニウム合金の棒 $\mathrm{BC}$ を、点 $\mathrm{B}$ で同じ軸の上にしっかりと接合した段付きの棒 $\mathrm{ABC}$ が、水平に置かれている。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な剛体の壁に固定されている。右端 $\mathrm{C}$ の右側には別の鉛直な剛体の壁があり、温度を上げる前は $\mathrm{C}$ と右の壁のあいだに ${\delta }_0=0.21\mathrm{mm}$ のすき間がある。はじめ棒に応力はない。各部分の値は次のとおりである。

• 鋼 $\mathrm{AB}$：長さ $400\mathrm{mm}$、断面積 $400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
• アルミニウム合金 $\mathrm{BC}$：長さ $350\mathrm{mm}$、断面積 $500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、線膨張係数 $24\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げる。棒は線形弾性の範囲で変形し、座屈・自重・摩擦は無視する。また、左右の壁は変形しないものとする。温度を上げたあと、アルミニウム合金の部分 $\mathrm{BC}$ に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で答えよ。

長さ $L=500\mathrm{mm}$、直径 $d=20\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。この丸棒は、向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、軸を水平にして置かれている。温度 $T_0$ のとき、丸棒の左端は左の壁に接しており、右端と右の壁のあいだには $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。このとき丸棒に応力は生じていない。

この状態から丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ だけ上げた。鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。

次のことを仮定する。壁は変形しない。丸棒と壁のあいだに摩擦はなく、丸棒の側面は自由に変形できる（側面には力がはたらかない）。丸棒は線形弾性体であり、軸方向の応力は丸棒全体で一様である。座屈は起こらない。材料定数は温度によらない。

加熱後の丸棒の直径は、加熱前に比べて何 $\mu \mathrm{m}$ 増加したか。正確な値で求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

長さ $1.5\mathrm{m}$ のまっすぐな鋼の軸 $\mathrm{AB}$ があり、両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ は剛体の壁に固定されていて回転できない。$\mathrm{A}$ から $0.6\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{C}$ を境に、部分 $\mathrm{AC}$（長さ $0.6\mathrm{m}$）は外径 $50\mathrm{mm}$、内径 $30\mathrm{mm}$ の中空円形断面、部分 $\mathrm{CB}$（長さ $0.9\mathrm{m}$）は直径 $50\mathrm{mm}$ の中実円形断面であり、2 つの部分は $\mathrm{C}$ で同軸にしっかりと接合されている。軸全体の横弾性係数は $G=80\mathrm{GPa}$ である。

点 $\mathrm{C}$ に、軸のまわりのねじりモーメント $T_0=3.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ を加えた。このとき軸に生じる最大のせん断応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、軸は弾性範囲内で変形し、各部分の断面は平面のまま回転する（円形断面の軸の初等ねじり理論が成り立つ）ものとする。断面が変わる $\mathrm{C}$ の近くの応力集中は考えない。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。