材料力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理材料力学

長さ $1.5 m$ のまっすぐな鋼の軸 $AB$ があり、両端 $A$ , $B$ は剛体の壁に固定されていて回転できない。 $A$ から $0.6 m$ の点 $C$ を境に、部分 $AC$ （長さ $0.6 m$ ）は外径 $50 mm$ 、内径 $30 mm$ の中空円形断面、部分 $CB$ （長さ $0.9 m$ ）は直径 $50 mm$ の中実円形断面であり、2 つの部分は $C$ で同軸にしっかりと接合されている。軸全体の横弾性係数は $G = 80 GPa$ である。

点 $C$ に、軸のまわりのねじりモーメント $T_{0} = 3.0 kN \cdot m$ を加えた。このとき軸に生じる最大のせん断応力の大きさは何 $MPa$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、軸は弾性範囲内で変形し、各部分の断面は平面のまま回転する（円形断面の軸の初等ねじり理論が成り立つ）ものとする。断面が変わる $C$ の近くの応力集中は考えない。

ACB

T_{0}

0.6 m

0.9 m

中空中実

軸の太さは長さに比べて拡大して描いてある

この問題で使うもの

ねじりの不静定問題（説明と入口の問題）
丸軸のねじり応力とねじれ角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

両端固定なので不静定。点 C のつり合い $T_{A} + T_{B} = T_{0}$ に加えて、C の回転角が両側から見て等しいという条件を使う。

ヒント 2

ねじれ角は $φ = \frac{T l}{G J}$ 。中空軸は $J = \frac{π ( D ^{4} - d ^{4} )}{32}$ 、中実軸は $J = \frac{π D ^{4}}{32}$ で、各部分の受けもつモーメントは $\frac{J}{l}$ に比例して分かれる。

ヒント 3

$J_{1} = 1.70 \times 1 0^{5} π m m^{4}$ 、 $J_{2} = 1.953 \times 1 0^{5} π m m^{4}$ から $T_{A} \approx 1.70 kN \cdot m$ 、 $T_{B} \approx 1.30 kN \cdot m$ 。それぞれの部分の外周のせん断応力 $\frac{T}{J} \cdot \frac{D}{2}$ を比べる。

答えと解説

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79.5

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解説を読む

両端が固定されているので、壁からのねじりモーメント $T_{A}$ , $T_{B}$ はつり合いの式だけでは決まらない（不静定）。つり合いとねじれ角の適合条件を合わせて解く。

断面二次極モーメント
$J_{1} = \frac{π ( D ^{4} - d ^{4} )}{32} = \frac{π ( 5 0 ^{4} - 3 0 ^{4} )}{32} = \frac{π ( 6.25 \times 1 0 ^{6} - 0.81 \times 1 0 ^{6} )}{32} = 1.70 \times 1 0^{5} π m m^{4}$
$J_{2} = \frac{π D ^{4}}{32} = \frac{π \times 6.25 \times 1 0 ^{6}}{32} = 1.953125 \times 1 0^{5} π m m^{4}$

つり合い　部分 $AC$ が受けもつねじりモーメントを $T_{A}$ 、部分 $CB$ が受けもつねじりモーメントを $T_{B}$ とすると、点 $C$ のつり合いより
$T_{A} + T_{B} = T_{0} (1)$

適合条件　両端は回転しないので、 $C$ の回転角は $A$ から見ても $B$ から見ても同じである。長さ $l$ の一様な軸のねじれ角は $φ = \frac{T l}{G J}$ だから
$\frac{T _{A} \times 0.6}{G J _{1}} = \frac{T _{B} \times 0.9}{G J _{2}} (2)$

$(2)$ より $T_{A} : T_{B} = \frac{J _{1}}{0.6} : \frac{J _{2}}{0.9}$ で、
$\frac{J _{1}}{0.6} = \frac{1.70 \times 1 0 ^{5}}{0.6} π = 2.8333 \times 1 0^{5} π, \frac{J _{2}}{0.9} = \frac{1.953125 \times 1 0 ^{5}}{0.9} π = 2.1701 \times 1 0^{5} π$
（単位は $m m^{4} /m$ ）。 $(1)$ と合わせて
$T_{A} = T_{0} \times \frac{2.8333}{2.8333 + 2.1701} = 3.0 \times 1 0^{3} \times 0.56627 = 1.6988 \times 1 0^{3} N \cdot m$
$T_{B} = T_{0} - T_{A} = 1.3012 \times 1 0^{3} N \cdot m$

最大せん断応力　円形断面の軸のせん断応力は外周で最大で、 $τ_{m a x} = \frac{T}{J} \cdot \frac{D}{2}$ である。

部分 $AC$ ： $J_{1} = 1.70 \times 1 0^{5} π m m^{4} = 5.3407 \times 1 0^{- 7} m^{4}$ より
$τ_{A C} = \frac{1.6988 \times 1 0 ^{3} \times 0.025}{5.3407 \times 1 0 ^{- 7}} = 7.952 \times 1 0^{7} Pa \approx 79.5 MPa$

部分 $CB$ ： $τ_{C B} = \frac{16 T _{B}}{π D ^{3}} = \frac{16 \times 1.3012 \times 1 0 ^{3}}{π \times ( 0.050 ) ^{3}} = 5.30 \times 1 0^{7} Pa = 53.0 MPa$

よって軸に生じる最大のせん断応力は部分 $AC$ の外周に生じ、その大きさは $79.5 MPa$ である。

別解

両端固定の不静定ねじり問題。AC 部分のねじりモーメントを $T_{A}$ 、CB 部分を $T_{B}$ とする（どちらも壁が軸に及ぼす反作用トルクの大きさ）。C に加えたトルクは両端の壁が分担するので $T_{A} + T_{B} = T_{0} = 3.0 \times 1 0^{6} N \cdot mm$ 。

断面二次極モーメント（mm 単位）:
$J_{1} = \frac{π}{32} (5 0^{4} - 3 0^{4}) = \frac{π}{32} (6.25 \times 1 0^{6} - 8.1 \times 1 0^{5}) = 1.7 \times 1 0^{5} π \approx 5.3407 \times 1 0^{5} m m^{4}$ （AC、中空）
$J_{2} = \frac{π}{32} 5 0^{4} = 1.953125 \times 1 0^{5} π \approx 6.1359 \times 1 0^{5} m m^{4}$ （CB、中実）

適合条件: 両端は固定なので、C のねじれ角 $φ_{C}$ は A 側から見ても B 側から見ても同じ大きさ。
$φ_{C} = \frac{T _{A} L _{1}}{G J _{1}} = \frac{T _{B} L _{2}}{G J _{2}}$ （ $L_{1} = 600 mm$ , $L_{2} = 900 mm$ ）

$\frac{T _{A}}{T _{B}} = \frac{L _{2} / J _{2}}{L _{1} / J _{1}} = \frac{900/ ( 1.953125 \times 1 0 ^{5} π )}{600/ ( 1.7 \times 1 0 ^{5} π )} = \frac{4.608 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5294 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.3056$ 。

$T_{A} = T_{0} \cdot \frac{1.3056}{2.3056} \approx 1698.8 N \cdot m$ 、 $T_{B} \approx 1301.2 N \cdot m$ 。

最大せん断応力 $τ = \frac{T r}{J}$ （外半径 $r = 25 mm$ ）:
AC: $τ_{1} = \frac{1.6988 \times 1 0 ^{6} \times 25}{5.3407 \times 1 0 ^{5}} \approx 79.5 MPa$
CB: $τ_{2} = \frac{1.3012 \times 1 0 ^{6} \times 25}{6.1359 \times 1 0 ^{5}} \approx 53.0 MPa$

よって最大は AC 部分の外周で、 $79.5 MPa$ 。

検算: $φ_{C}$ を両側から計算すると、 $\frac{1.6988 \times 1 0 ^{6} \times 600}{G \times 5.3407 \times 1 0 ^{5}} = \frac{1.9085 \times 1 0 ^{3}}{G}$ 、 $\frac{1.3012 \times 1 0 ^{6} \times 900}{G \times 6.1359 \times 1 0 ^{5}} = \frac{1.9086 \times 1 0 ^{3}}{G}$ で一致する。 $G$ の値は応力の大きさに影響しない。

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