ねじりの不静定問題

両端を固定した段付き軸や、異なる材料の軸を接合したものに中間点でねじりモーメントを加えるとき、各部分のねじれ角の和が 0 になる適合条件とつり合いから各部分のねじりモーメントを決め、最大せん断応力を求められる

前提

丸軸のねじり応力とねじれ角（大学物理材料力学）

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算数中学高校大学大学院

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丸軸のねじり応力とねじれ角（大学物理材料力学）

説明

丸軸の片端だけを固定してねじるなら、軸に伝わるねじりモーメントはつり合いからすぐ決まります。しかし、軸の両端を壁に固定して途中の点でねじると、両端の壁が受け持つねじりモーメントが 2 つとも未知になり、つり合いの式 1 本だけでは決まりません（ねじりの不静定問題）。この技能では、「両端が固定されているので、各部分のねじれ角の和は 0」という適合条件をつり合いと連立して、各部分が受け持つねじりモーメントを決め、そこから最大せん断応力を求められるようになります。太さや材料が途中で変わる軸（段付き軸・異種材料の接合軸）にも同じ方法が使えます。

なぜそうしてよいのか

軸方向に $x$ 軸をとり、各断面に生じるねじりモーメント（その断面で、 $x$ の大きい側の部分が小さい側の部分に及ぼす、 $x$ 軸まわりの力のモーメント。右ねじの向きで符号をつける）を $T$ とします。長さ $L$ 、横弾性係数 $G$ 、極断面二次モーメント $I_{p}$ の一様な部分にねじりモーメント $T$ が生じていると、その部分の右端は左端に対して $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ だけ回転します（ $T$ の符号がそのまま $ϕ$ の符号になります）。

軸が途中の点 C で太さや材料が変わったり、C に外からねじりモーメント $T_{0}$ が加わったりする場合、C の左右で生じるねじりモーメントを $T_{1}$ （部分 AC）、 $T_{2}$ （部分 CB）とします。C の位置の薄い一片をとり出すと、右の面には $T_{2}$ 、左の面には $- T_{1}$ （作用・反作用で向きが逆）、さらに外からの $T_{0}$ がはたらくので、つり合いは $T_{2} - T_{1} + T_{0} = 0$ 、すなわち $T_{1} - T_{2} = T_{0}$ です。未知数は 2 つなのに式は 1 本なので、これだけでは決まりません。

足りない式は変形から得られます。両端 A, B が壁に固定されているなら、B は A に対して回転できないので、各部分のねじれ角を足すと 0 です:
$ϕ_{AC} + ϕ_{CB} = \frac{T _{1} L _{1}}{G _{1} I _{p 1}} + \frac{T _{2} L _{2}}{G _{2} I _{p 2}} = 0$
この適合条件とつり合いを連立すれば $T_{1}, T_{2}$ が決まります。直観的には、点 C から両側の壁までの 2 本の軸が、同じ角度だけねじられた 2 本のばねのように $T_{0}$ を分担しており、ねじれにくい（ $\frac{G I _{p}}{L}$ が大きい）側ほど多くを受け持ちます。

手順

軸方向に $x$ 軸をとり、荷重点や太さ・材料が変わる点で区間に分け、各区間のねじりモーメント $T_{1}, T_{2}, \dots$ を同じ符号の約束で未知数として置く。
区間の境目（外からねじりモーメント $T_{0}$ が加わる点）のつり合いを立てる: $T_{1} - T_{2} = T_{0}$ （ $T_{0}$ は $x$ 軸まわりに右ねじの向きを正）。
各区間のねじれ角を書く: $ϕ_{i} = \frac{T _{i} L _{i}}{G _{i} I _{p i}}$ （ $I_{p} = \frac{π d ^{4}}{32}$ 、中空軸は $\frac{π ( d _{2}^{4} - d _{1}^{4} )}{32}$ ）。
両端固定の適合条件 $\sum ϕ_{i} = 0$ をつり合いと連立して $T_{i}$ を求める。
各区間の最大せん断応力 $τ_{m a x} = \frac{16∣ T _{i} ∣}{π d _{i}^{3}}$ （中空軸は $\frac{∣ T _{i} ∣}{I _{p i}} \cdot \frac{d _{2}}{2}$ ）を求め、最も大きいものを選ぶ。

例題

太さと材料が一様な長さ $1.0 m$ の中実丸軸 AB の両端 A, B が、回転しない壁に固定されている。A から $0.4 m$ の点 C に、軸のまわりのねじりモーメント $1000 N \cdot m$ を加えた。軸は弾性の範囲で変形するものとする。部分 AC に生じるねじりモーメントの大きさを $N \cdot m$ 単位で求めよ。

例題の解答

【手順 1】A から B へ向けて $x$ 軸をとり、部分 AC（長さ $L_{1} = 0.4 m$ ）のねじりモーメントを $T_{1}$ 、部分 CB（長さ $L_{2} = 0.6 m$ ）のねじりモーメントを $T_{2}$ とする。加えたねじりモーメントの向きを正にとり $T_{0} = 1000 N \cdot m$ 。

【手順 2】点 C のつり合いより $T_{1} - T_{2} = 1000$ 。

【手順 3】軸の横弾性係数を $G$ 、極断面二次モーメントを $I_{p}$ （全長で共通）とすると、 $ϕ_{AC} = \frac{0.4 T _{1}}{G I _{p}}$ 、 $ϕ_{CB} = \frac{0.6 T _{2}}{G I _{p}}$ 。

【手順 4】両端固定なので $ϕ_{AC} + ϕ_{CB} = 0$ 、 $G I_{p}$ が共通なので $0.4 T_{1} + 0.6 T_{2} = 0$ 。 $T_{2} = T_{1} - 1000$ を代入して $0.4 T_{1} + 0.6 T_{1} - 600 = 0$ 、 $T_{1} = 600 N \cdot m$ 。このとき $T_{2} = - 400 N \cdot m$ （CB は AC と逆向きにねじられている）。

【手順 5】（参考）太さが一様なので、最大せん断応力は $∣ T ∣$ の大きい部分 AC で生じ、直径を $d$ とすれば $τ_{m a x} = \frac{16 \times 600}{π d ^{3}}$ 。

よって部分 AC に生じるねじりモーメントの大きさは $600 N \cdot m$ 。近い壁の側（短い部分）ほど多くを受け持つ。

答え: $600$

よくある誤り

加えたねじりモーメントを両側で半分ずつ受け持つとしてしまう誤り。例で $T_{1} = 500 N \cdot m$ とする。正しくは適合条件 $\frac{T _{1} L _{1}}{G I _{p}} + \frac{T _{2} L _{2}}{G I _{p}} = 0$ から長さの逆比で分担し、 $T_{1} = T_{0} \frac{L _{2}}{L _{1} + L _{2}} = 600 N \cdot m$ （短い側が多く受け持つ）。
長さの比を逆にしてしまう誤り。 $T_{1} = T_{0} \frac{L _{1}}{L _{1} + L _{2}} = 400 N \cdot m$ とする。正しくは、同じ角度だけねじるには短い軸ほど大きなねじりモーメントが必要なので、部分 AC は $T_{0} \frac{L _{2}}{L _{1} + L _{2}}$ 。
段付き軸や異種材料の軸で、 $G$ や $I_{p}$ の違いを無視して長さの比だけで分担を決める誤り。正しくは適合条件 $\frac{T _{1} L _{1}}{G _{1} I _{p 1}} + \frac{T _{2} L _{2}}{G _{2} I _{p 2}} = 0$ をそのまま使い、各部分のねじれにくさ $\frac{G I _{p}}{L}$ の比で分担する。
最大せん断応力を、受け持つねじりモーメントが大きい部分だけで判断する誤り。段付き軸では、ねじりモーメントが小さくても細い部分のほうが $\frac{16∣ T ∣}{π d ^{3}}$ が大きくなることがある。正しくは各部分で $τ_{m a x} = \frac{16∣ T _{i} ∣}{π d _{i}^{3}}$ を計算して比べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $1.2 m$ の一様な中実丸軸 AB（直径と横弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、回転しないように壁に固定する。A から $0.4 m$ の点 C に、軸のまわりのねじりモーメント $T_{0} = 900 N \cdot m$ を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。
軸の AC の部分が受けるねじりモーメントの大きさは何 $N \cdot m$ か。整数で答えよ。
$A$ $B$ $C$ $T_{0} = 900 N \cdot m$ $0.4 m$ $1.2 m$

ねじりの不静定問題

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題