丸軸のねじり応力とねじれ角

極断面二次モーメント $I_{p} = \frac{π d ^{4}}{32}$ （中空軸は $\frac{π ( d _{2}^{4} - d _{1}^{4} )}{32}$ ）を使って、ねじりモーメント $T$ を受ける丸軸の最大せん断応力 $τ_{m a x} = \frac{16 T}{π d ^{3}}$ とねじれ角 $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ を求め、伝達動力 $P = T ω$ から必要な軸径を求められる

前提

断面二次モーメントと断面係数（大学物理材料力学）
力のモーメント（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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力のモーメント（高校物理力と運動）

説明

モーターや自動車の駆動軸のように、回転の動力を伝える丸い軸は、両端から逆向きのねじりモーメント（軸のまわりの力のモーメント） $T$ を受けてねじられます。この技能では、ねじられた丸軸の断面に生じるせん断応力の最大値 $τ_{m a x} = \frac{16 T}{π d ^{3}}$ と、軸の両端の相対的な回転角（ねじれ角） $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ を求めます。さらに、伝える動力 $P$ と回転の角速度 $ω$ から $T = \frac{P}{ω}$ を求め、せん断応力が許される値を超えないような軸の直径を決められるようになります。

なぜそうしてよいのか

まず用語を定めます。面に沿って（面と平行に）はたらく力を、その面の面積で割ったものをせん断応力 $τ$ といいます。せん断応力を受けた小さな正方形の要素は、ずれて平行四辺形になり、その直角からの角度の変化（弧度法）をせん断ひずみ $γ$ といいます。弾性の範囲では両者は比例し、 $τ = G γ$ と書けます。比例定数 $G$ を横弾性係数といい、引張のときの $E$ にあたる量です。

長さ $L$ の丸軸の一端を固定し、他端を角 $ϕ$ （弧度法）だけねじったとします。丸軸では、ねじっても断面は平面のまま、半径も直線のまま回転すると考えてよく、軸の表面に軸方向に引いた直線はらせん状に傾きます。中心から半径 $r$ の位置では、他端の点が円周方向に弧の長さ $r ϕ$ だけずれ、それが長さ $L$ にわたって一様に起きているので、せん断ひずみは $γ = \frac{r ϕ}{L}$ 、せん断応力は
$τ = G γ = \frac{Gϕ}{L} r$
となり、中心で 0、半径に比例して大きくなります。

断面内で、半径 $r$ と $r + d r$ の間の細い輪（面積 $d A = 2 π r d r$ ）にはたらくせん断力 $τ d A$ は円周方向を向き、中心からのうでの長さ $r$ で、中心のまわりに力のモーメント $τ r d A$ を生みます。これを断面全体で足したものが、その断面が伝えるねじりモーメント $T$ に等しいので
$T = \int τ r d A = \frac{Gϕ}{L} \int r^{2} d A = \frac{Gϕ}{L} I_{p}, I_{p} = \int r^{2} d A$
です。 $I_{p}$ を極断面二次モーメントといい、直径 $d$ （半径 $R = d /2$ ）の中実軸では $I_{p} = \int_{0}^{R} r^{2} \cdot 2 π r d r = \frac{π R ^{4}}{2} = \frac{π d ^{4}}{32}$ 、外径 $d_{2}$ ・内径 $d_{1}$ の中空軸では積分範囲を $\frac{d _{1}}{2} \leq r \leq \frac{d _{2}}{2}$ にして $\frac{π ( d _{2}^{4} - d _{1}^{4} )}{32}$ です（直径を軸とする断面二次モーメント $\frac{π d ^{4}}{64}$ のちょうど 2 倍）。この式から $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ 、また $\frac{Gϕ}{L} = \frac{T}{I _{p}}$ を代入して $τ = \frac{T r}{I _{p}}$ が得られます。最大は表面 $r = \frac{d}{2}$ で、中実軸なら $τ_{m a x} = \frac{T \cdot d /2}{π d ^{4} /32} = \frac{16 T}{π d ^{3}}$ です。

最後に、軸が角速度 $ω$ で回りながらねじりモーメント $T$ を伝えるとき、表面の点が受ける円周方向の力を $F$ とすると $T = F \cdot \frac{d}{2}$ 、その点の速さは $\frac{d}{2} ω$ なので、仕事率は $F \cdot \frac{d}{2} ω = T ω$ です。つまり伝達動力は $P = T ω$ です。回転数 $n$ （毎秒の回転数）が与えられたら $ω = 2 π n$ とします。

手順

ねじりモーメント $T$ を求める。動力 $P$ と回転数が与えられたら、 $ω = 2 π n$ （ $n$ は毎秒の回転数）として $T = \frac{P}{ω}$ 。
極断面二次モーメントを求める。中実軸は $I_{p} = \frac{π d ^{4}}{32}$ 、中空軸は $I_{p} = \frac{π ( d _{2}^{4} - d _{1}^{4} )}{32}$ 。
最大せん断応力を表面で求める: $τ_{m a x} = \frac{T}{I _{p}} \cdot \frac{d}{2}$ （中実軸なら $\frac{16 T}{π d ^{3}}$ 、中空軸なら $d$ は外径 $d_{2}$ ）。
ねじれ角が必要なら $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ （弧度法）を求める。
軸径を決めるときは、 $τ_{m a x} \leq τ_{a}$ （許される最大のせん断応力）から $d \geq (\frac{16 T}{π τ _{a}})^{1/3}$ を求める。いずれも単位をそろえて（N・m、m、Pa など）計算する。

例題

直径 $40 mm$ の中実の丸軸が、ねじりモーメント $800 N \cdot m$ を受けている。軸は弾性の範囲で変形するものとする。軸に生じる最大せん断応力を $MPa$ 単位で、 $π$ を含む正確な値で求めよ。

例題の解答

【手順 1】ねじりモーメントは $T = 800 N \cdot m$ と与えられている。

【手順 2】 $d = 40 mm = 0.04 m$ なので
$I_{p} = \frac{π d ^{4}}{32} = \frac{π \times ( 0.04 ) ^{4}}{32} = \frac{π \times 2.56 \times 1 0 ^{- 6}}{32} = 8 π \times 1 0^{- 8} m^{4}$

【手順 3】最大せん断応力は表面 $r = \frac{d}{2} = 0.02 m$ で生じ
$τ_{m a x} = \frac{T}{I _{p}} \cdot \frac{d}{2} = \frac{800 \times 0.02}{8 π \times 1 0 ^{- 8}} = \frac{2 \times 1 0 ^{8}}{π} Pa$
（ $\frac{16 T}{π d ^{3}} = \frac{16 \times 800}{π \times 6.4 \times 1 0 ^{- 5}} = \frac{2 \times 1 0 ^{8}}{π}$ とも一致する。）

$1 MPa = 1 0^{6} Pa$ より $τ_{m a x} = \frac{200}{π} MPa$ （約 $63.7 MPa$ ）。（ねじれ角は問われていないので手順 4・5 は不要。）

答え: $\frac{200}{π}$

よくある誤り

極断面二次モーメントに、直径を軸とする断面二次モーメント $\frac{π d ^{4}}{64}$ を使ってしまう誤り。すると $τ_{m a x} = \frac{32 T}{π d ^{3}}$ と 2 倍になる。正しくはねじりでは中心からの距離 $r$ を使う $I_{p} = \int r^{2} d A = \frac{π d ^{4}}{32}$ で、 $τ_{m a x} = \frac{16 T}{π d ^{3}}$ 。
回転数から角速度を求めるとき $2 π$ や 60 を忘れる誤り。毎分 $N$ 回転の軸で $T = \frac{P}{N}$ としてしまう。正しくは $ω = \frac{2 π N}{60} rad/s$ として $T = \frac{P}{ω} = \frac{60 P}{2 π N}$ 。
中空軸の極断面二次モーメントを外径と内径の差で $\frac{π ( d _{2} - d _{1} ) ^{4}}{32}$ としてしまう誤り。正しくは外側の円から内側の円を引いて $I_{p} = \frac{π ( d _{2}^{4} - d _{1}^{4} )}{32}$ 、最大せん断応力は外表面で $τ_{m a x} = \frac{T}{I _{p}} \cdot \frac{d _{2}}{2}$ 。
ねじれ角 $ϕ = \frac{T L}{G I _{p}}$ の結果を度数のまま扱ったり、縦弾性係数 $E$ を使ったりする誤り。正しくは横弾性係数 $G$ を使い、得られる $ϕ$ は弧度法（rad）の値で、度に直すなら $\frac{180}{π}$ 倍する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
直径 $d = 40 mm$ の中実丸軸がある。軸の左端を壁に固定し、右端に軸のまわりのねじりモーメント $T = 400 N \cdot m$ を加える。軸は弾性範囲内で変形するものとする。
このとき軸に生じる最大せん断応力 $τ_{m a x}$ は何 MPa か。円周率 $π$ を含む正確な値で答えよ。
$T = 400 N \cdot m$ $d = 40 mm$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ねじりの不静定問題（大学物理材料力学）