材料力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理材料力学

同じ材料でできた、同じ長さの 2 本のまっすぐな丸軸がある。軸 1 は外径 $d$ 、内径 $\frac{d}{2}$ の中空円形断面をもつ。軸 2 は中実円形断面をもち、その断面積は軸 1 の断面積と等しい。2 本の軸のそれぞれの両端に、大きさ $T$ の等しいねじりモーメントを互いに逆向きに加えた。

材料は弾性範囲内にあり、断面は平面のまま回転し（平面保持）、せん断応力は軸の中心からの距離に比例すると仮定する。軸 1 に生じる最大せん断応力を $τ_{1}$ 、軸 2 に生じる最大せん断応力を $τ_{2}$ とするとき、比 $\frac{τ _{1}}{τ _{2}}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

\frac{d}{2}

d

軸 1（中空）軸 2（中実）

2 本の軸の断面（軸 2 の断面積は軸 1 と等しい）

この問題で使うもの

丸軸のねじり応力とねじれ角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

それぞれの軸の最大せん断応力を、断面二次極モーメント $I_{p}$ を使って $τ_{m a x} = \frac{T r _{m a x}}{I _{p}}$ で表そう。

ヒント 2

中空円の $I_{p} = \frac{π}{32} (d_{o}^{4} - d_{i}^{4})$ 。軸 2 の直径 $D$ は、断面積が等しいという条件 $\frac{π D ^{2}}{4} = \frac{π}{4} {d^{2} - (\frac{d}{2})^{2}}$ から決まる。

ヒント 3

$D = \frac{3}{2} d$ 、 $τ_{1} = \frac{256 T}{15 π d ^{3}}$ となる。あとは $τ_{2} = \frac{16 T}{π D ^{3}}$ を計算して比をとろう。

答えと解説

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\frac{2 3}{5}

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解説を読む

ねじりの基本式

弾性範囲で平面保持が成り立つ丸軸では、中心からの距離 $r$ の位置のせん断応力は $τ = \frac{T r}{I _{p}}$ （ $I_{p}$ は断面二次極モーメント）で表されます。最大せん断応力は外表面（ $r$ が最大の位置）で生じます。

軸 1（中空軸）

外径 $d$ 、内径 $\frac{d}{2}$ なので
$I_{p 1} = \frac{π}{32} {d^{4} - (\frac{d}{2})^{4}} = \frac{π}{32} \cdot \frac{15}{16} d^{4} = \frac{15 π d ^{4}}{512}$
最大せん断応力は $r = \frac{d}{2}$ で
$τ_{1} = \frac{T \cdot \frac{d}{2}}{\frac{15 π d ^{4}}{512}} = \frac{256 T}{15 π d ^{3}}$

軸 2（中実軸）の直径

軸 1 の断面積は
$A_{1} = \frac{π}{4} {d^{2} - (\frac{d}{2})^{2}} = \frac{3 π d ^{2}}{16}$
軸 2 の直径を $D$ とすると、 $\frac{π D ^{2}}{4} = \frac{3 π d ^{2}}{16}$ より $D^{2} = \frac{3}{4} d^{2}$ 、すなわち $D = \frac{3}{2} d$ です。

軸 2 の最大せん断応力

中実丸軸では $τ_{2} = \frac{16 T}{π D ^{3}}$ です。 $D^{3} = \frac{3 3}{8} d^{3}$ なので
$τ_{2} = \frac{16 T}{π \cdot \frac{3 3}{8} d ^{3}} = \frac{128 T}{3 3 π d ^{3}}$

比
$\frac{τ _{1}}{τ _{2}} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3 3}{128} = \frac{6 3}{15} = \frac{2 3}{5} (\approx 0.69)$

同じ断面積（同じ重さ）でも、材料を中心から離れた位置に配置した中空軸のほうが、最大せん断応力が約 3 割小さくなります。

別解

ねじりの最大せん断応力は $τ_{m a x} = \frac{T r _{m a x}}{J}$ （ $J$ は断面二次極モーメント、 $r_{m a x}$ は外半径）。

軸 1（中空）: 外径 $d$ 、内径 $d /2$ 。
断面積 $A_{1} = \frac{π}{4} (d^{2} - \frac{d ^{2}}{4}) = \frac{3 π d ^{2}}{16}$ 。
$J_{1} = \frac{π}{32} (d^{4} - \frac{d ^{4}}{16}) = \frac{15 π d ^{4}}{512}$ 。
$τ_{1} = \frac{T \cdot d /2}{J _{1}} = \frac{T d}{2} \cdot \frac{512}{15 π d ^{4}} = \frac{256 T}{15 π d ^{3}}$ 。

軸 2（中実）: 直径を $D$ とすると $\frac{π D ^{2}}{4} = \frac{3 π d ^{2}}{16}$ より $D^{2} = \frac{3}{4} d^{2}$ 、 $D = \frac{3}{2} d$ 。
$D^{3} = \frac{3 3}{8} d^{3}$ 。
$J_{2} = \frac{π D ^{4}}{32}$ なので $τ_{2} = \frac{T D /2}{π D ^{4} /32} = \frac{16 T}{π D ^{3}} = \frac{16 T \cdot 8}{3 3 π d ^{3}} = \frac{128 T}{3 3 π d ^{3}}$ 。

比:
$\frac{τ _{1}}{τ _{2}} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3 3}{128} = \frac{6 3}{15} = \frac{2 3}{5}$ 。

検算: $\frac{2 3}{5} \approx 0.693$ 。数値で $d = 1$ とすると $τ_{1} = 256/ (15 π) T \approx 5.432 T$ 、 $D \approx 0.8660$ 、 $τ_{2} = 16/ (π \cdot 0.6495) T \approx 7.841 T$ 、比 $\approx 0.693$ で一致する。中空軸のほうが同じ断面積で最大せん断応力が小さく、妥当。

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