材料力学の問題

断面の図心と断面二次モーメント　断面の下端から高さ $y$ を測る。
- フランジ：面積 $120\times 20=2400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、図心の高さ $130\mathrm{mm}$
- ウェブ：面積 $20\times 120=2400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、図心の高さ $60\mathrm{mm}$

図心（中立軸）の高さは
$$\bar{y}=\frac{2400\times 130+2400\times 60}{2400+2400}=95\mathrm{mm}$$
よって中立軸から上端までは $e_1=140-95=45\mathrm{mm}$、下端までは $e_2=95\mathrm{mm}$ である。

平行軸の定理より、中立軸まわりの断面二次モーメントは
$$I=\left(\frac{120\times 20^3}{12}+2400\times 35^2\right)+\left(\frac{20\times 120^3}{12}+2400\times 35^2\right)$$
$$=(8.0\times 10^4+2.94\times 10^6)+(2.88\times 10^6+2.94\times 10^6)=8.84\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$$

せん断力と曲げモーメント　自由端 $\mathrm{B}$ から左へ $x\mathrm{m}$（$0\le x\le 3$）の断面を考え、その右側の部分のつり合いを考える（固定端の反力を求めなくてよい）。下に凸にする曲げモーメントを正とすると
$$M(x)=Fx-\frac{w{x}^2}{2}=5x-2x^2[\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}]$$
せん断力は $\frac{dM}{dx}=5-4x$ で、$x=1.25\mathrm{m}$ で $0$ になる。よって
- 正の最大：$M(1.25)=6.25-3.125=3.125\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（下に凸。上側が圧縮、下側が引張）
- 負の最大：$M(3)=15-18=-3\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（固定端 $\mathrm{A}$。上に凸。上側が引張、下側が圧縮）

最大引張応力　曲げ応力は $\sigma =\frac{M}{I}e$ である。断面が上下非対称なので、正負それぞれの曲げモーメントについて引張側の縁の応力を比べる。

$x=1.25\mathrm{m}$ の断面の下端：
$$\sigma =\frac{3.125\times 10^6\times 95}{8.84\times 10^6}=33.58\mathrm{MPa}$$
固定端 $\mathrm{A}$ の断面の上端：
$$\sigma =\frac{3.0\times 10^6\times 45}{8.84\times 10^6}=15.27\mathrm{MPa}$$
（曲げモーメントの単位は $\mathrm{N}\cdot \mathrm{mm}$、長さは $\mathrm{mm}$ で計算した。）

大きい方が最大の引張応力で、$33.6\mathrm{MPa}$ である。曲げモーメントの絶対値が最大になる固定端ではなく、中立軸から遠い下端が引張になる $x=1.25\mathrm{m}$ の断面で最大になることに注意する。

【曲げモーメント】自由端 B から距離 $s$ の断面の曲げモーメント（下側が引張＝正）を、B 側の荷重から求める。
$M(s)=Fs-\frac{w{s}^2}{2}=5s-2s^2[\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}]$（$0\le s\le 3\mathrm{m}$）。

$\frac{dM}{ds}=5-4s=0$ より $s=1.25\mathrm{m}$ で極大: $M=5(1.25)-2(1.25{)}^2=6.25-3.125=3.125\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（正：下側引張）。
固定端（$s=3$）: $M=15-18=-3\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（負：上側引張）。
よって注意すべきは $M_{+}=3.125\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ と $M_{-}=-3.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$。

【断面特性】上面から測る（単位 mm）。
面積: フランジ $120\times 20=2400$、ウェブ $20\times 120=2400$、合計 $4800\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$。
図心: $\bar{y}=\frac{2400\times 10+2400\times 80}{4800}=45\mathrm{mm}$（上面から）。したがって上縁まで $45\mathrm{mm}$、下縁まで $95\mathrm{mm}$。
$I=\left[\frac{120\cdot 20^3}{12}+2400\cdot 35^2\right]+\left[\frac{20\cdot 120^3}{12}+2400\cdot 35^2\right]=(80000+2940000)+(2880000+2940000)=8.84\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^4$。

【応力】
$M_{+}=3.125\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（下側引張）: 下縁の引張応力 $\sigma =\frac{3.125\times 10^6\times 95}{8.84\times 10^6}\approx 33.6\mathrm{MPa}$。
$M_{-}=-3.0\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（上側引張）: 上縁の引張応力 $\sigma =\frac{3.0\times 10^6\times 45}{8.84\times 10^6}\approx 15.3\mathrm{MPa}$。

最大の引張応力は、$s=1.25\mathrm{m}$（固定端から $1.75\mathrm{m}$）の断面の下縁で $33.6\mathrm{MPa}$。

検算: 圧縮側の最大は固定端の下縁で $3.0\times 10^6\times 95/8.84\times 10^6\approx 32.2\mathrm{MPa}$、引張の最大 $33.6\mathrm{MPa}$ より小さい。