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材料力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理材料力学

長さ $4 m$ の水平なまっすぐなはり $AB$ が、左端 $A$ をピン支持、右端 $B$ をローラー支持で単純支持されている。 $AB$ の中点を $C$ とし、区間 $AC$ の全体だけに、鉛直下向きの等分布荷重 $w = 6 kN/m$ が加わっている（区間 $CB$ には荷重がない）。はりの断面は幅 $b = 60 mm$ 、高さ $h = 120 mm$ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で曲げられ、曲げ応力は単純曲げの理論（ $σ = M / Z$ ）で求められるものとする。このはりに生じる曲げ応力の大きさの最大値は何 $MPa$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

A

B

C

w = 6 kN/m

2 m

2 m

はりの断面は幅 60 mm、高さ 120 mm の長方形

この問題で使うもの

はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図（説明と入口の問題）
断面二次モーメントと断面係数（説明と入口の問題）
はりの曲げ応力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず支点反力を求め、せん断力図・曲げモーメント図を考えて、曲げモーメントが最大になる位置を探しましょう。最後に断面係数で割ります。

ヒント 2

分布荷重の合力 $12 kN$ は $x = 1 m$ に働くとみなせます。曲げモーメントはせん断力が $0$ になる位置で極大になります（ $d M / d x = V$ ）。長方形断面の断面係数は $Z = b h^{2} /6$ です。

ヒント 3

反力は $R_{A} = 9 kN$ 、 $R_{B} = 3 kN$ で、区間 $AC$ では $V = 9 - 6 x$ 、 $M = 9 x - 3 x^{2}$ です。 $V = 0$ となる $x$ で $M$ を求め、 $Z = 1.44 \times 1 0^{5} m m^{3}$ で割りましょう。

答えと解説

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46.9

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解説を読む

$A$ を原点とし、はりにそって右向きに $x$ 軸をとる（単位 $m$ ）。

1. 支点反力　区間 $AC$ （長さ $2 m$ ）の分布荷重の合力は $6 \times 2 = 12 kN$ で、その作用点は $x = 1 m$ である。 $A$ , $B$ の鉛直上向きの反力を $R_{A}$ , $R_{B}$ とする。 $A$ のまわりのモーメントのつり合いより
$R_{B} \times 4 - 12 \times 1 = 0 ⟹ R_{B} = 3 kN$
鉛直方向の力のつり合いより $R_{A} = 12 - 3 = 9 kN$ 。

2. せん断力と曲げモーメント　（せん断力は断面の左側の部分に働く上向きの力の和、曲げモーメントははりを下に凸に曲げる向きを正とする。）

$0 \leq x \leq 2$ のとき
$V (x) = 9 - 6 x [kN], M (x) = 9 x - \frac{6 x ^{2}}{2} = 9 x - 3 x^{2} [kN \cdot m]$
$2 \leq x \leq 4$ のとき（右側の部分で考える）
$V (x) = - 3 [kN], M (x) = 3 (4 - x) [kN \cdot m]$
$x = 2$ で両方の式は $M = 6 kN \cdot m$ となり、つながっている。

3. 曲げモーメントの最大値　 $\frac{d M}{d x} = V$ なので、 $M$ はせん断力が $0$ になる位置で最大になる。 $9 - 6 x = 0$ より $x = 1.5 m$ （区間 $AC$ の中）で
$M_{m a x} = 9 \times 1.5 - 3 \times 1. 5^{2} = 13.5 - 6.75 = 6.75 kN \cdot m$
区間 $CB$ では $M = 3 (4 - x)$ は単調に減少し、 $6 kN \cdot m$ 以下である。また $M \geq 0$ なので、 $∣ M ∣$ の最大値も $6.75 kN \cdot m = 6.75 \times 1 0^{6} N \cdot mm$ である。

4. 曲げ応力　長方形断面の断面係数は
$Z = \frac{b h ^{2}}{6} = \frac{60 \times 12 0 ^{2}}{6} m m^{3} = 1.44 \times 1 0^{5} m m^{3}$
単純曲げの理論より、曲げ応力の大きさは断面の上下の縁で最大となり $σ = M / Z$ で与えられる。よって
$σ_{m a x} = \frac{M _{m a x}}{Z} = \frac{6.75 \times 1 0 ^{6} N \cdot mm}{1.44 \times 1 0 ^{5} m m ^{3}} = 46.875 N/m m^{2} = 46.875 MPa$

よって、曲げ応力の大きさの最大値は有効数字 3 桁で $46.9 MPa$ である（ $x = 1.5 m$ の断面の上縁で圧縮、下縁で引張）。

別解

A から右向きに $x$ をとる。区間 AC（ $0 \leq x \leq 2$ ）の荷重の合力は $6 \times 2 = 12 kN$ で、作用点は A から $1 m$ 。
B まわりのモーメントのつり合い: $R_{A} \times 4 = 12 \times 3$ より $R_{A} = 9 kN$ 、 $R_{B} = 12 - 9 = 3 kN$ 。

区間 AC: せん断力 $V (x) = 9 - 6 x$ 、曲げモーメント $M (x) = 9 x - 3 x^{2}$ 。 $V = 0$ となるのは $x = 1.5 m$ （AC 内）で、そこで $M$ は最大: $M (1.5) = 13.5 - 6.75 = 6.75 kN m$ 。
点 C では $M (2) = 18 - 12 = 6 kN m$ 。
区間 CB: $M (x) = 3 (4 - x)$ で $x = 2$ から $0$ まで直線的に減少するので $6 kN m$ 以下。
よって $M_{ma x} = 6.75 kN m = 6.75 \times 1 0^{3} N m$ 。

断面係数: $Z = \frac{b h ^{2}}{6} = \frac{0.060 \times 0.12 0 ^{2}}{6} = 1.44 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ 。
最大曲げ応力: $σ_{ma x} = \frac{M _{ma x}}{Z} = \frac{6.75 \times 1 0 ^{3}}{1.44 \times 1 0 ^{- 4}} = 4.6875 \times 1 0^{7} Pa \approx 46.9 MPa$ 。
検算: $M (x) = 9 x - 3 x^{2}$ の頂点は $x = - 9/ (2 \cdot (- 3)) = 1.5$ 、値 $\frac{81}{12} = 6.75$ で一致。

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