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材料力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理材料力学

長さ $4 m$ の真っすぐなはり AB が、左端 A をピン支点、右端 B をローラー支点で単純支持されている。はりには全長にわたって鉛直下向きの等分布荷重 $w = 6 kN/m$ がかかり、さらに A から $1 m$ の点 C に鉛直下向きの集中荷重 $P = 8 kN$ がかかっている。はりの断面は幅 $b = 60 mm$ 、高さ $h = 120 mm$ の一様な長方形で、高さ方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、はりは線形弾性体で、曲げ応力は初等はり理論（平面保持の仮定）に従うものとする。

はりに生じる曲げ応力の絶対値の最大値を、 $MPa$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

A

B

C

w = 6 kN/m

P = 8 kN

1 m

4 m

60 mm

120 mm

断面

右は、はりの断面（縮尺ははりと異なる）

この問題で使うもの

はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図（説明と入口の問題）
断面二次モーメントと断面係数（説明と入口の問題）
はりの曲げ応力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず力とモーメントのつり合いから両支点の反力を求め、せん断力図・曲げモーメント図をかいてみよう。

ヒント 2

曲げモーメントは $\frac{d M}{d x} = V$ を満たすので、せん断力が $0$ になる位置で極値をとる。曲げ応力の最大値は $σ_{m a x} = M_{m a x} / Z$ 、長方形断面では $Z = b h^{2} /6$ である。

ヒント 3

反力は $R_{A} = 18 kN$ , $R_{B} = 14 kN$ 。C より右側（ $1 < x < 4$ ）でせん断力は $V = 10 - 6 x$ となり、 $x = 5/3 m$ で $0$ になる。

答えと解説

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解説を読む

1. 支点反力

A, B の鉛直上向きの反力を $R_{A}$ , $R_{B}$ とする。等分布荷重の合力は $6 \times 4 = 24 kN$ で、その作用点ははりの中央（A から $2 m$ ）である。

A まわりのモーメントのつり合いより
$R_{B} \times 4 = 24 \times 2 + 8 \times 1 = 56 \Rightarrow R_{B} = 14 kN$
鉛直方向の力のつり合いより
$R_{A} = 24 + 8 - 14 = 18 kN$

2. せん断力と曲げモーメント

A から右へ距離 $x [m]$ の断面を考え、その左側の部分のつり合いからせん断力 $V (x)$ と曲げモーメント $M (x)$ （下側が引張りになる向きを正）を求める。

$0 < x < 1$ のとき
$V = 18 - 6 x, M = 18 x - 3 x^{2}$

$1 < x < 4$ のとき
$V = 18 - 8 - 6 x = 10 - 6 x, M = 18 x - 8 (x - 1) - 3 x^{2} = 8 + 10 x - 3 x^{2}$

$0 < x < 1$ では $V ≧ 12 > 0$ なので $M$ は増加し続ける（C の直後でも $V = 4 > 0$ ）。 $1 < x < 4$ では $V = 0$ となるのは $x = \frac{5}{3} m$ で、 $\frac{d M}{d x} = V$ よりここで $M$ が最大になる。
$M_{m a x} = 8 + 10 \cdot \frac{5}{3} - 3 (\frac{5}{3})^{2} = 8 + \frac{50}{3} - \frac{25}{3} = \frac{49}{3} kN \cdot m \approx 16.33 kN \cdot m$
両端では $M = 0$ で、 $M$ は全長で $0$ 以上なので、曲げモーメントの絶対値の最大値はこの値である。（参考: C 点では $M = 15 kN \cdot m$ で、これより小さい。）

3. 曲げ応力

初等はり理論では、曲げ応力は中立軸からの距離に比例し、上下の縁で最大 $σ_{m a x} = \frac{M}{Z}$ となる。長方形断面の断面係数は
$Z = \frac{b h ^{2}}{6} = \frac{60 \times 12 0 ^{2}}{6} = 1.44 \times 1 0^{5} m m^{3}$
$M_{m a x} = \frac{49}{3} \times 1 0^{6} N \cdot mm$ なので
$σ_{m a x} = \frac{49 \times 1 0 ^{6}}{3 \times 1.44 \times 1 0 ^{5}} N/m m^{2} = \frac{49000}{432} MPa \approx 113.4 MPa$

よって、有効数字 3 桁で $113 MPa$ である。

別解

支点反力を求める。全荷重は等分布荷重 $w L = 6 \times 4 = 24 kN$ （作用点は A から $2 m$ ）と $P = 8 kN$ なので、A まわりのモーメントのつり合いから $R_{B} \times 4 = 24 \times 2 + 8 \times 1 = 56$ 、よって $R_{B} = 14 kN$ 。鉛直方向のつり合いから $R_{A} = 32 - 14 = 18 kN$ 。\n\nA から $x$ の位置の曲げモーメント（下に凸となる向きを正）:\n- $0 \leq x \leq 1$ : $M = 18 x - 3 x^{2}$ （ $M (1) = 15 kN \cdot m$ ）\n- $1 \leq x \leq 4$ : $M = 18 x - 3 x^{2} - 8 (x - 1) = 10 x - 3 x^{2} + 8$ \n\nせん断力は $1 \leq x \leq 4$ で $V = 10 - 6 x$ なので $x = 5/3 m$ で $V = 0$ となり、ここで $M$ が極大。 $0 \leq x \leq 1$ では $V = 18 - 6 x > 0$ で $M$ は増加し続ける。\n $M (5/3) = \frac{50}{3} - \frac{25}{3} + 8 = \frac{49}{3} \approx 16.33 kN \cdot m$ 。これは $M (1) = 15$ より大きく、 $M (0) = M (4) = 0$ （検算: $M (4) = 40 - 48 + 8 = 0$ ）なので最大曲げモーメントは $M_{ma x} = \frac{49}{3} kN \cdot m$ 。\n\n断面係数 $Z = \frac{b h ^{2}}{6} = \frac{0.060 \times 0.12 0 ^{2}}{6} = 1.44 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ 。\n\n最大曲げ応力 $σ_{ma x} = \frac{M _{ma x}}{Z} = \frac{16333.3}{1.44 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 1.134 \times 1 0^{8} Pa \approx 113 MPa$ 。\n\n検算: 断面2次モーメント $I = b h^{3} /12 = 8.64 \times 1 0^{- 6} m^{4}$ 、 $y = 0.06 m$ で $σ = 16333.3 \times 0.06/8.64 \times 1 0^{- 6} = 113.4 MPa$ で一致。

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