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オイラーの座屈荷重

たわみの微分方程式 と端末条件から両端ピン支持の座屈荷重 を導き、一端固定・他端自由（）などの有効長さを使って座屈荷重を求め、圧縮部材の軸力と比べてトラスなどが座屈しない荷重の上限を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  93. はりの曲げ応力 （大学物理 材料力学）
  94. たわみ曲線の微分方程式 （大学物理 材料力学）

説明

細長い棒（柱）を軸方向に押していくと、ある荷重を超えたところで急に横へ大きく曲がり出します。これを座屈といい、そのときの荷重を座屈荷重 と呼びます。この技能では、たわみの微分方程式と端の支え方から座屈荷重を導き、有効長さを使っていろいろな支え方の柱の座屈荷重を求めます。トラスの圧縮部材などで、軸力が座屈荷重を超えないように荷重の上限を決める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

長さ 、曲げ剛性 の真っすぐな柱の両端をピンで支え、軸方向に圧縮力 をかけます。柱がわずかに横へたわんで になったとすると、位置 の断面には軸力 が腕の長さ で働くので曲げモーメント が生じます。これをたわみの微分方程式 に入れると 、つまり とおいて になります。端の条件は です。

これは前提の技能の境界値問題そのものです。一般解は で、 から 、 から です。 なら柱は真っすぐなまま（たわまない）なので、曲がったつり合いの形が存在するのは 、すなわち （）のときだけです。荷重を 0 から増やしていくと最初に到達するのは なので、 より が得られます。このとき は決まらず、たわみの形 （半波の正弦）だけが決まります。

支え方が変わっても、たわみの形が正弦波の一部になる点は同じです。そこで、たわみの形のうち「両端ピンの半波 」に相当する部分の長さを有効長さ とよび、 とまとめます。たとえば一端固定・他端自由の柱は、固定端を対称の中心として折り返すと長さ の両端ピン柱と同じ形なので 、 です（両端固定なら ）。曲がりやすい方向で座屈するので、 は断面二次モーメントのうち小さいほうを使います。

手順

  1. 柱の支え方（両端ピン・一端固定他端自由など）、長さ 、曲げ剛性 を確認する。 は小さいほうの断面二次モーメントを使う

  2. 少したわんだ状態 を考え、断面の曲げモーメントを と で表して に入れ、、 の形にする

  3. 一般解に端の条件（ピン端で 、固定端で ）を入れ、 となる条件（例: ）を求める

  4. その条件を満たす最小の正の を選び、 を計算する。結果は有効長さ を使って とも書ける

  5. 圧縮部材の軸力 を外力で表し、（安全率があれば ）から荷重の上限を求める

例題

長さ 、曲げ剛性 の真っすぐな柱が、下端 を固定され、上端 は自由である。上端に鉛直下向きの圧縮荷重 を柱の軸に沿ってかける。柱の自重は無視する。たわみの微分方程式から、この柱の座屈荷重 を で求めよ。

例題の解答

手順 1: 一端固定・他端自由、長さ 、曲げ剛性 の柱である。

手順 2: 柱がわずかに横へたわみ、位置 のたわみを 、上端のたわみを とする。位置 の断面より上の部分を考えると、上端の荷重 は断面から横に だけずれたところに働くので、断面には大きさ の曲げモーメントが生じる。たわみが増える向きに柱を曲げる向きなので、たわみの微分方程式の符号の約束に合わせると

となる。 とおくと である。

手順 3: 一般解は 。固定端の条件 から 、 から より 。よって 。さらに上端で なので 、すなわち 。たわみがある（）ためには が必要で、 である。

手順 4: 最小の を選ぶと

これは有効長さ として と書いたものと一致する。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題