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材料力学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理材料力学

平面内にある正方形 $ABCD$ （頂点はこの順に並び、1 辺の長さ $a$ ）の形のトラスがある。4 本の辺 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ と 2 本の対角線 $AC$ , $BD$ の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。

6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を $E$ 、断面積を $S$ 、断面二次モーメントを $I$ とする。頂点 $A$ と $C$ に、対角線 $AC$ にそって互いに近づける向きに、大きさ $P$ の荷重を加える（ $P > 0$ ）。荷重は $P = 0$ から少しずつ大きくする。

どれかの部材で最初に座屈が起こるときの $P$ の値を、 $E$ , $I$ , $a$ を用いて求めよ。

ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 $\frac{π ^{2} E I}{l ^{2}}$ （ $l$ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。

A

B

C

D

a

P

P

この問題で使うもの

トラスの部材力（節点法）（説明と入口の問題）
軸荷重の応力・ひずみとポアソン比（説明と入口の問題）
オイラーの座屈荷重（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（96 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

部材 6 本・節点 4 個のトラスは 1 次の不静定である。対角材 AC の圧縮力を $X$ とおき、残りの荷重 $P - X$ をほかの 5 本が受けもつと考えて、各部材の軸力を $X$ で表す。

ヒント 2

AC の縮みと、残りの 5 本でできた枠の A, C の近づく量が等しいという適合条件を使う。近づく量は単位荷重法 $δ = \sum \frac{N n l}{E S}$ で求められる。

ヒント 3

4 本の辺は圧縮 $\frac{P - X}{2}$ 、BD は引張 $P - X$ を受け、枠の A, C の近づく量は $\frac{( 2 + 2 ) ( P - X ) a}{E S}$ になる。これと $\frac{2 X a}{E S}$ を等しいとおいて $X$ を求め、圧縮を受ける部材それぞれについてオイラーの座屈荷重と比べる。

答えと解説

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\frac{2 π ^{2} E I}{2 a ^{2}}

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解説を読む

部材は 6 本、節点は 4 個なので、平面トラスの静定の条件（部材数 $= 2 \times 節点数 - 3 = 5$ ）より部材が 1 本多く、内的に 1 次の不静定である。そこで対角材 $AC$ の軸力を未知数にとり、変形の適合条件で決める。

部材力（つり合い）　部材 $AC$ の圧縮力を $X$ とする。節点 $A$ では、荷重 $P$ のうち $X$ を部材 $AC$ が受けもち、残りの $Q = P - X$ を辺 $AB$ , $AD$ が受けもつ。 $AB$ , $AD$ は $AC$ と $4 5^{\circ}$ をなすので、対称性から両者の圧縮力を $N_{s}$ とすると
$2 N_{s} cos 4 5^{\circ} = Q より N_{s} = \frac{Q}{2}$
節点 $C$ も同様で、4 本の辺はすべて圧縮力 $\frac{Q}{2}$ を受ける。節点 $B$ では、辺 $BA$ , $BC$ の圧縮力が $B$ を $D$ から遠ざける向きに合わせて $2 \cdot \frac{Q}{2} cos 4 5^{\circ} = Q$ の力をおよぼすので、部材 $BD$ は引張力 $Q$ を受ける。

適合条件　部材 $AC$ の縮み $\frac{X \cdot 2 a}{E S}$ は、ほかの 5 本の部材でできた枠の 2 点 $A$ , $C$ の近づく量 $δ$ に等しい。 $δ$ を単位荷重法で求める。 $A$ , $C$ に互いに近づける向きの単位荷重を加えたときの部材力は、上で $Q = 1$ としたもので、辺は圧縮 $\frac{1}{2}$ 、 $BD$ は引張 $1$ である。よって
$δ = \sum \frac{N n l}{E S} = \frac{1}{E S} (4 \cdot \frac{Q}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot a + Q \cdot 1 \cdot 2 a) = \frac{( 2 + 2 ) Q a}{E S}$
適合条件 $\frac{2 X a}{E S} = \frac{( 2 + 2 ) ( P - X ) a}{E S}$ より
$X = \frac{2 + 2}{2 + 2 2} P = \frac{2 ( 2 + 1 )}{2 ( 1 + 2 )} P = \frac{P}{2}$
（ $E$ , $S$ は約分されて残らない。）

したがって各部材の軸力は
- $AC$ （長さ $2 a$ ）：圧縮 $\frac{P}{2}$
- 4 本の辺（長さ $a$ ）：圧縮 $\frac{P - X}{2} = \frac{P}{2} - \frac{P}{2} = \frac{2 - 1}{2} P$
- $BD$ ：引張 $(1 - \frac{1}{2}) P$ （引張なので座屈しない）

座屈の判定　両端ピンの柱のオイラーの座屈荷重は $\frac{π ^{2} E I}{l ^{2}}$ である。

部材 $AC$ が座屈する条件は
$\frac{P}{2} = \frac{π ^{2} E I}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{π ^{2} E I}{2 a ^{2}} より P = \frac{2 π ^{2} E I}{2 a ^{2}} \approx 0.707 \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}}$
辺が座屈する条件は
$\frac{2 - 1}{2} P = \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}} より P = \frac{2}{2 - 1} \cdot \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}} = 2 (2 + 1) \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}} \approx 4.83 \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}}$

$P$ を大きくしていくと、先に部材 $AC$ が座屈する。よって求める値は
$P = \frac{2 π ^{2} E I}{2 a ^{2}}$

別解

対称性から、4 本の辺の軸力は等しい。これを $N$ （引張を正）とし、対角材 AC、BD の軸力を $T_{A C}$ 、 $T_{B D}$ （引張を正）とする。

【つり合い】
点 B: 辺 BA、BC の張力の合力は正方形の中心向きで大きさ $2 N$ 。対角材 BD の張力も中心向き。外力はないので $2 N + T_{B D} = 0$ 、すなわち $T_{B D} = - 2 N$ 。
点 A: 辺 AB、AD の合力は中心向きで $2 N$ 、対角材 AC の張力 $T_{A C}$ も中心向き、荷重 $P$ も（AC にそって C 向き＝中心向きに）働く。よって $2 N + T_{A C} + P = 0$ 、すなわち $T_{A C} = - P - 2 N$ 。
（C、D も同様。）6 本の部材に対して独立なつり合い式は 5 本なので、1 次の不静定で、 $N$ が未定である。

【適合条件（最小仕事の原理）】
ひずみエネルギーは
$U = \frac{1}{2 E S} [4 N^{2} a + T_{A C}^{2} 2 a + T_{B D}^{2} 2 a]$ 。
$T_{B D}^{2} = 2 N^{2}$ で、 $\frac{\partial T _{A C}}{\partial N} = - 2$ より、 $\frac{\partial U}{\partial N} = 0$ から
$8 N + 2 [2 T_{A C} (- 2) + 4 N] = 0$
$\Rightarrow 8 N - 4 T_{A C} + 42 N = 0$
$\Rightarrow 8 N + 4 (P + 2 N) + 42 N = 0$
$\Rightarrow N = - \frac{P}{2 ( 1 + 2 )} = - \frac{( 2 - 1 )}{2} P \approx - 0.207 P$ （圧縮）。

それぞれの軸力:
辺（圧縮）: $0.207 P$
$T_{A C} = - P - 2 N = - P + \frac{( 2 - 2 )}{2} P = - \frac{2}{2} P \approx - 0.707 P$ （圧縮）
$T_{B D} = - 2 N = \frac{2 - 2}{2} P \approx 0.293 P$ （引張）

【座屈条件】
圧縮を受けるのは辺と対角材 AC。BD は引張なので座屈しない。
辺（長さ $a$ ）: $\frac{( 2 - 1 )}{2} P = \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}}$ より $P = \frac{2 ( 1 + 2 ) π ^{2} E I}{a ^{2}} \approx 4.83 \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}}$ 。
対角材 AC（長さ $2 a$ ）: $\frac{2}{2} P = \frac{π ^{2} E I}{2 a ^{2}}$ より $P = \frac{π ^{2} E I}{2 a ^{2}} \approx 0.707 \frac{π ^{2} E I}{a ^{2}}$ 。

後者のほうが小さいので、最初に座屈するのは対角材 AC で、そのときの荷重は
$P = \frac{π ^{2} E I}{2 a ^{2}} = \frac{2 π ^{2} E I}{2 a ^{2}}$ 。

検算: $P = π^{2} E I / (2 a^{2})$ のとき AC の軸力は $\frac{2}{2} P = \frac{π ^{2} E I}{2 a ^{2}}$ で、AC のオイラー荷重 $\frac{π ^{2} E I}{( 2 a ) ^{2}}$ に一致する。点 A のつり合い $2 N + T_{A C} + P = - 0.293 P - 0.707 P + P = 0$ も成り立つ。

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