材料力学の問題

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。

水平な天井から、鉛直な 3 本の棒で、まっすぐな剛体の水平なはり $\mathrm{AC}$ をつり下げる。はりの上の点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ はこの順に並び、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1.0\mathrm{m}$ である。$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ にはそれぞれ棒 $1$, $2$, $3$ の下端がピンで取り付けられ、各棒の上端は天井にピンで取り付けられている。3 本の棒の長さはどれも $1.5\mathrm{m}$ である。棒 $1$ と棒 $3$ は鋼製（縦弾性係数 $200\mathrm{GPa}$、断面積 $100\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）、棒 $2$ はアルミニウム合金製（縦弾性係数 $70\mathrm{GPa}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$）である。荷重をかける前、はりは水平で、どの棒にも力ははたらいていない。

いま、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $27\mathrm{kN}$ を加えた。はりと棒の自重は無視し、棒はすべて弾性範囲内で変形するものとし、変形は小さいとして、はりの回転による棒の傾きは無視する。このとき、棒 $3$ に生じる軸力（引張を正とする）は何 $\mathrm{kN}$ か。正確な値で求めよ。

鉛直面内にある 3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ からなる三角形のトラスがある。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、節点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にあり、$\angle \mathrm{CAB}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$、部材 $\mathrm{AC}$ の長さは $L$ である。節点 $\mathrm{A}$ は固定したピン支点、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。

3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P$ を加え、$P$ を $0$ から徐々に大きくしていく。

部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 $P$ を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

平面内にある正方形 $\mathrm{ABCD}$（頂点はこの順に並び、1 辺の長さ $a$）の形のトラスがある。4 本の辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ と 2 本の対角線 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$ の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。

6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を $E$、断面積を $S$、断面二次モーメントを $I$ とする。頂点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ に、対角線 $\mathrm{AC}$ にそって互いに近づける向きに、大きさ $P$ の荷重を加える（$P>0$）。荷重は $P=0$ から少しずつ大きくする。

どれかの部材で最初に座屈が起こるときの $P$ の値を、$E$, $I$, $a$ を用いて求めよ。

ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 $\frac{{\pi }^{2}EI}{l^2}$（$l$ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。