材料力学の問題

鉛直面内にある正三角形 $\mathrm{ABC}$ の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さはどれも $L$ である。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にある。各節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は摩擦のないピンで結合されている。支点 $\mathrm{A}$ は床にピン支持され、支点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(P>0)$ を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は $E$ である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$（$I$ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 $P$ の最大値を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとって次のように定める（$a>0$）。
$$\mathrm{A}(0,0),\mathrm{C}(a,0),\mathrm{D}(2a,0),\mathrm{B}(3a,0),\mathrm{E}(a,a),\mathrm{F}(2a,a)$$
トラスは 9 本の部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DB}$, $\mathrm{EF}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CE}$, $\mathrm{DF}$, $\mathrm{CF}$ からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 $\mathrm{A}$ はピン支持、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $W$ を加える。

すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。

どの部材も座屈しないような荷重 $W$ の最大値を、$E$, $d$, $a$ を用いて表せ。

平面内にある正方形 $\mathrm{ABCD}$（頂点はこの順に並び、1 辺の長さ $a$）の形のトラスがある。4 本の辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DA}$ と 2 本の対角線 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$ の、合わせて 6 本のまっすぐな部材でできており、部材どうしは頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ だけで、摩擦のないピンで結合されている（2 本の対角材は中央で交差するが、互いに結合されておらず、接触もしない）。

6 本の部材はすべて同じ材料・同じ円形断面で、縦弾性係数を $E$、断面積を $S$、断面二次モーメントを $I$ とする。頂点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ に、対角線 $\mathrm{AC}$ にそって互いに近づける向きに、大きさ $P$ の荷重を加える（$P>0$）。荷重は $P=0$ から少しずつ大きくする。

どれかの部材で最初に座屈が起こるときの $P$ の値を、$E$, $I$, $a$ を用いて求めよ。

ただし、各部材は両端がピン支持された柱とみなしてオイラーの座屈荷重 $\frac{{\pi }^{2}EI}{l^2}$（$l$ は部材の長さ）で座屈し、座屈するまでは弾性範囲内で軸力だけを受けて伸び縮みするものとする。部材の自重は無視し、変形は十分小さく、つり合いの式は変形前の形で立ててよい。

鉛直面内で、同じ高さにある 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$（$\mathrm{AB}=2L$、$\mathrm{A}$ が左）を床にピン支持し、2 本のまっすぐな部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BC}$ を節点 $\mathrm{C}$ でピン結合した 2 部材トラスがある。$\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ より上にあり、$\angle \mathrm{CAB}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=60^{\circ }$ である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(>0)$ を加える。

2 本の部材は同じ材料・同じ断面（縦弾性係数 $E$、断面二次モーメント $I$。断面は円形で、どの向きにも曲がりにくさは同じ）でできており、それぞれ両端ピン支持の長柱としてオイラーの座屈荷重に従うものとする。部材の自重、部材の圧縮による変形、材料の降伏は無視する。どちらの部材も座屈しない $P$ の最大値（座屈が始まる荷重）を $E,I,L$ を用いて表せ。

剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 $\mathrm{OD}$ がある。左端 $\mathrm{O}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は $\mathrm{OB}=a$, $\mathrm{OC}=2a$ の位置にあり、右端 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{OD}=3a$ の位置にある（$a>0$ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。

$\mathrm{B}$ は鉛直な鋼の棒 1 で、$\mathrm{C}$ は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、$\mathrm{B}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_1$ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、$\mathrm{C}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_2$ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 $\mathrm{OD}$ は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$、棒 2 は長さ $L_2=0.7\mathrm{m}$、断面積 $A_2=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=70\mathrm{GPa}$ である。

右端 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。棒 $\mathrm{OD}$ の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 $\mathrm{D}$ の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。