たわみ曲線の微分方程式

たわみの微分方程式 $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$ を 2 回積分し、支持条件（固定端で $v = v^{'} = 0$ 、支点で $v = 0$ ）から積分定数を決めて、片持ちはり・単純支持はりのたわみ角とたわみ（例: 先端集中荷重で $\frac{P L ^{3}}{3 E I}$ ）を求め、重ね合わせや適合条件で不静定はりの反力を求められる

前提

はりの曲げ応力（大学物理材料力学）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

荷重を受けたはりは曲がり、軸の各点が少しずつ下がります。この下がった量をたわみ $v (x)$ 、たわんだ軸の傾き $\frac{d v}{d x}$ をたわみ角といいます。この技能では、曲げモーメント $M (x)$ とたわみを結ぶ微分方程式 $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$ を 2 回積分し、支え方の条件から積分定数を決めて、たわみ角とたわみを $x$ の式で求めます。はりが使用中に下がりすぎないかの確認や、つり合いだけでは反力が決まらないはり（不静定はり）の反力を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

曲げ応力を導いたときに、はりの中立面の曲率半径 $ρ$ と曲げモーメントの間に $\frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}$ という関係が得られました（ $E$ は縦弾性係数、 $I$ は中立軸まわりの断面二次モーメント）。 $\frac{1}{ρ}$ は軸がどれだけ急に曲がっているかを表し、軸に沿って長さ $d s$ 進む間に接線の向きが角 $d θ$ 変わるとき $\frac{1}{ρ} = \frac{d θ}{d s}$ です。実際のはりのたわみはとても小さく、軸の傾きも小さいので、接線の角は $θ \approx \frac{d v}{d x}$ 、軸に沿った長さは $d s \approx d x$ とみなせます。すると曲がり具合は $\frac{d θ}{d s} \approx \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}}$ 、つまりたわみの 2 階導関数で表されます。

ここで、 $x$ 軸ははりの軸に沿って右向き、たわみ $v$ は下向きを正とし、曲げモーメントは下に凸に曲げる向きを正とします。 $M > 0$ のときはりは下に凸に曲がり、下向きを正とした $v$ のグラフは上に凸（ $v^{''} < 0$ ）になります。符号まで含めると
$E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$
です。 $M (x)$ はつり合いから区間ごとに求められるので、これを 1 回積分するとたわみ角 $v^{'}$ 、もう 1 回積分するとたわみ $v$ が得られます。積分するたびに積分定数が 1 つずつ出ますが、これは支え方で決まります。固定端では位置も向きも固定されているので $v = 0$ かつ $v^{'} = 0$ 、単純支持の支点では位置だけが固定されて回転は自由なので $v = 0$ です。

この方程式は $M$ について 1 次なので、いくつかの荷重が同時に加わったときのたわみは、各荷重だけのときのたわみの和になります（重ね合わせ）。つり合いだけでは反力が決まらないはりでは、余分な反力を未知の荷重とみなしてたわみを重ね合わせ、「その支点ではたわみが 0」という条件（適合条件）を加えると、反力が決まります。

手順

座標をとる（ $x$ ははりに沿って右向き、 $v$ は下向きを正）。支点反力を求め、断面の位置 $x$ での曲げモーメント $M (x)$ （下に凸を正）を区間ごとに書く。片持ちはりでは、断面より自由端側の部分のつり合いから $M (x)$ を求めると反力が不要で簡単。
$E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$ を 1 回積分してたわみ角 $E I \frac{d v}{d x} = - \int M d x + C_{1}$ を得る。
もう 1 回積分してたわみ $E I v = \dots + C_{1} x + C_{2}$ を得る。
支持条件（固定端: $v = 0, v^{'} = 0$ 、支点: $v = 0$ 。区間に分けた場合は境目で $v$ と $v^{'}$ が連続）を代入して積分定数 $C_{1}, C_{2}$ を決める。
求めたい位置の $x$ を代入して、たわみ角とたわみを求める。不静定はりでは、余分な反力を未知数としてたわみを求め、その支点で $v = 0$ とおいて反力を決める。

例題

長さ $L$ の片持ちはりが、左端 $x = 0$ で壁に固定され、右端 $x = L$ は自由端である。はりの全長にわたって、単位長さあたり $w$ の一様な分布荷重が鉛直下向きに加わっている。はりの縦弾性係数を $E$ 、断面二次モーメントを $I$ とし（ともに一定）、自重は無視する。たわみは小さいものとして、自由端のたわみ（下向きを正）を $w, L, E, I$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】位置 $x$ の断面より右側（自由端側）の部分には、大きさ $w (L - x)$ の荷重が、断面から $\frac{L - x}{2}$ の位置に下向きに加わる。この荷重は、はりを上に凸に（自由端が垂れ下がる向きに）曲げるので、曲げモーメントは負で
$M (x) = - \frac{w ( L - x ) ^{2}}{2}$

【手順 2】 $E I v^{''} = - M = \frac{w ( L - x ) ^{2}}{2}$ を積分して
$E I v^{'} = - \frac{w ( L - x ) ^{3}}{6} + C_{1}$

【手順 3】もう 1 回積分して
$E I v = \frac{w ( L - x ) ^{4}}{24} + C_{1} x + C_{2}$

【手順 4】固定端 $x = 0$ で $v^{'} = 0$ : $- \frac{w L ^{3}}{6} + C_{1} = 0$ より $C_{1} = \frac{w L ^{3}}{6}$ 。 $x = 0$ で $v = 0$ : $\frac{w L ^{4}}{24} + C_{2} = 0$ より $C_{2} = - \frac{w L ^{4}}{24}$ 。

【手順 5】 $x = L$ を代入すると
$E I v (L) = 0 + \frac{w L ^{3}}{6} \cdot L - \frac{w L ^{4}}{24} = \frac{4 w L ^{4} - w L ^{4}}{24} = \frac{w L ^{4}}{8}$
よって自由端のたわみは $v (L) = \frac{w L ^{4}}{8 E I}$ （下向き）。

答え: $\frac{w L ^{4}}{8 E I}$

よくある誤り

積分定数を省いてしまう誤り。例で $E I v^{'} = - \frac{w ( L - x ) ^{3}}{6}$ 、 $E I v = \frac{w ( L - x ) ^{4}}{24}$ とすると、 $x = 0$ で $v = \frac{w L ^{4}}{24 E I} \neq = 0$ となり固定端の条件を満たさず、自由端のたわみも $0$ になってしまう。正しくは積分のたびに $C_{1}, C_{2}$ を加え、支持条件から決める。
単純支持の支点にも $v^{'} = 0$ を課してしまう誤り。長さ $L$ の単純支持はりで $v (0) = 0, v^{'} (0) = 0$ としてしまう。正しくは支点では回転が自由なので条件は $v (0) = 0, v (L) = 0$ の 2 つで、たわみ角は一般に 0 にならない。
符号の約束を混同して $E I v^{''} = + M$ のまま下向き正の $v$ を使い、たわみが負（上向き）になってしまう誤り。正しくは $v$ を下向き正、 $M$ を下に凸を正としたとき $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$ 。例えば先端に集中荷重 $P$ を受ける片持ちはりでは先端のたわみは下向きに $\frac{P L ^{3}}{3 E I}$ 。
区間ごとに $M (x)$ が変わるはりで、区間の境目での連続条件を使わずに積分定数を決めようとする誤り。区間が 2 つあると積分定数は 4 つになり、両端の条件 2 つだけでは決まらない。正しくは境目 $x = a$ で $v$ と $v^{'}$ が左右の区間で等しいという 2 つの条件を加える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

たわみ曲線の微分方程式

前提

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なぜそうしてよいのか

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