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材料力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理材料力学

長さ $L$ の水平なまっすぐなはり $AB$ が、左端 $A$ をピン支持、右端 $B$ をローラー支持で単純支持されている。はりの曲げ剛性 $E I$ は全長にわたって一定である。右端 $B$ に、はりを含む鉛直面内で、紙面に向かって反時計回り（ $A$ から $B$ の向きを右としたとき）の大きさ $M_{0}$ の偶力のモーメント（集中モーメント）を加えた。ほかに荷重はない。

このとき、はりの中点 $C$ の鉛直下向きのたわみを、 $M_{0}$ , $L$ , $E$ , $I$ を用いて求めよ。

ただし、はりの自重は無視し、たわみは十分小さく、たわみ曲線の微分方程式 $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x)$ （ $v$ は下向きのたわみ、 $M$ は下に凸に曲げる向きを正とした曲げモーメント）が成り立つものとする。 $M_{0} > 0$ とする。

A

B

C

M_{0}

L

この問題で使うもの

たわみ曲線の微分方程式（説明と入口の問題）
はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（79 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず支点反力を求め、位置 $x$ の断面の曲げモーメント $M (x)$ を式で表す。そのあと、たわみ曲線の微分方程式を 2 回積分する。

ヒント 2

$A$ のまわりのモーメントのつり合いから $R_{A} = \frac{M _{0}}{L}$ で、 $M (x) = \frac{M _{0} x}{L}$ となる。積分定数は両端でたわみが $0$ という条件で決める。

ヒント 3

$E I v = - \frac{M _{0} x ^{3}}{6 L} + C_{1} x + C_{2}$ で、 $v (0) = 0$ から $C_{2} = 0$ 、 $v (L) = 0$ から $C_{1} = \frac{M _{0} L}{6}$ 。これに $x = \frac{L}{2}$ を代入する。

答えと解説

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\frac{M _{0} L ^{2}}{16 E I}

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解説を読む

$A$ を原点として右向きに $x$ 軸をとる（ $0 \leq x \leq L$ ）。

支点反力　 $A$ , $B$ の鉛直上向きの反力を $R_{A}$ , $R_{B}$ とする。 $A$ のまわりの力のモーメントのつり合い（反時計回りを正）より
$R_{B} L + M_{0} = 0 より R_{B} = - \frac{M _{0}}{L}$
鉛直方向のつり合い $R_{A} + R_{B} = 0$ より $R_{A} = \frac{M _{0}}{L}$ （ $R_{B}$ は実際には下向き）。

曲げモーメント　位置 $x$ の断面の左側の部分を考えると、はたらく力は $R_{A}$ だけなので
$M (x) = R_{A} x = \frac{M _{0} x}{L}$
（ $x = L$ で $M = M_{0}$ となり、 $B$ に加えたモーメントと一致する。 $M > 0$ なので、はりは全長で下に凸に曲がる。）

たわみ曲線　微分方程式は
$E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - \frac{M _{0} x}{L}$
2 回積分して
$E I \frac{d v}{d x} = - \frac{M _{0} x ^{2}}{2 L} + C_{1}, E I v = - \frac{M _{0} x ^{3}}{6 L} + C_{1} x + C_{2}$
境界条件は、両端の支点でたわみが $0$ であること：
- $v (0) = 0$ より $C_{2} = 0$
- $v (L) = 0$ より $- \frac{M _{0} L ^{2}}{6} + C_{1} L = 0$ 、よって $C_{1} = \frac{M _{0} L}{6}$

したがって
$v (x) = \frac{M _{0}}{6 E I L} (L^{2} x - x^{3})$

中点のたわみ　 $x = \frac{L}{2}$ を代入して
$v (\frac{L}{2}) = \frac{M _{0}}{6 E I L} (\frac{L ^{3}}{2} - \frac{L ^{3}}{8}) = \frac{M _{0}}{6 E I L} \cdot \frac{3 L ^{3}}{8} = \frac{M _{0} L ^{2}}{16 E I}$
正なので下向きであり、求めるたわみは $\frac{M _{0} L ^{2}}{16 E I}$ である。

別解

左端 A を原点、右へ $x$ 軸をとる。

【反力】A まわりのモーメントのつり合い。B に加えた偶力 $M_{0}$ は反時計回り。支点反力を上向きに $R_{A}$ , $R_{B}$ とすると、B の上向き力 $R_{B}$ は A まわりに反時計回りのモーメント $R_{B} L$ をつくる。
$M_{0} + R_{B} L = 0$ より $R_{B} = - \frac{M _{0}}{L}$ （下向き）、鉛直方向のつり合いから $R_{A} = + \frac{M _{0}}{L}$ （上向き）。

【曲げモーメント】左側部分のつり合いから、下に凸に曲げる向きを正として
$M (x) = R_{A} x = \frac{M _{0}}{L} x$ （ $0 \leq x \leq L$ ）。
（ $x = L$ で $M = M_{0}$ となり、B の反時計回りの偶力と整合する。）

【たわみ】 $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = - M (x) = - \frac{M _{0}}{L} x$ 。
積分して $E I \frac{d v}{d x} = - \frac{M _{0}}{2 L} x^{2} + C_{1}$ 、 $E I v = - \frac{M _{0}}{6 L} x^{3} + C_{1} x + C_{2}$ 。
境界条件: $v (0) = 0$ より $C_{2} = 0$ 。 $v (L) = 0$ より $- \frac{M _{0} L ^{2}}{6} + C_{1} L = 0$ 、 $C_{1} = \frac{M _{0} L}{6}$ 。

$E I v = \frac{M _{0}}{6 L} (L^{2} x - x^{3})$ 。

中点 $x = \frac{L}{2}$ : $E I v = \frac{M _{0}}{6 L} (\frac{L ^{3}}{2} - \frac{L ^{3}}{8}) = \frac{M _{0}}{6 L} \cdot \frac{3 L ^{3}}{8} = \frac{M _{0} L ^{2}}{16}$ 。

よって中点 C の下向きのたわみは $v_{C} = \frac{M _{0} L ^{2}}{16 E I}$ （正なので下向き）。

検算: 単純支持はりの端に偶力 $M_{0}$ を加えたときの標準解 $v (x) = \frac{M _{0}}{6 E I L} (L^{2} x - x^{3})$ と一致する。全体が $M > 0$ （下に凸）で曲がるので、たわみは全長にわたって下向きで、中点でのたわみも下向きになる。

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