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材料力学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理材料力学

長さ $L$ の水平なまっすぐなはり $AB$ がある。左端 $A$ は壁に固定され（たわみもたわみ角も $0$ ）、右端 $B$ はローラーで単純支持されている（たわみが $0$ で、曲げモーメントを支えない）。はりの曲げ剛性 $E I$ は一様である。

$A$ から右へ距離 $x$ （ $0 \leq x \leq L$ ）の位置に、単位長さあたり $w_{0} \frac{x}{L}$ の鉛直下向きの分布荷重が加わっている（ $A$ で $0$ 、 $B$ で $w_{0}$ になる三角形分布荷重。 $w_{0} > 0$ ）。はりの自重は無視し、たわみは微小で、オイラー・ベルヌーイのはり理論（たわみ曲線の微分方程式）が成り立つものとする。

固定端 $A$ に生じる曲げモーメントの大きさを、 $w_{0}$ , $L$ を用いて表せ。

A

B

w_{0}

L

この問題で使うもの

たわみ曲線の微分方程式（説明と入口の問題）
はりの支点反力とせん断力図・曲げモーメント図（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（79 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

不静定はりなので、つり合いだけでは反力が決まらない。ローラー支点の反力 $R$ を未知数として曲げモーメント $M (x)$ を表し、 $E I v^{''} = M$ を積分しよう。

ヒント 2

断面 $x$ より右側の部分を考えると、固定端の未知反力を使わずに $M (x) = R (L - x) - \int_{x}^{L} w_{0} \frac{s}{L} (s - x) d s$ と書ける。境界条件は $v (0) = 0$ , $v^{'} (0) = 0$ , $v (L) = 0$ の 3 つ。

ヒント 3

2 回積分して $v (0) = v^{'} (0) = 0$ を使うと積分定数は 0 になり、 $v (L) = 0$ から $\frac{R L ^{3}}{3} = \frac{11 w _{0} L ^{4}}{120}$ が得られる。あとは $M (0)$ を計算しよう。

答えと解説

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\frac{7 w _{0} L ^{2}}{120}

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解説を読む

このはりは不静定（未知の反力が 3 つ: $A$ の鉛直反力・固定モーメント、 $B$ の鉛直反力）なので、たわみ曲線の微分方程式と境界条件を使って反力を決めます。

曲げモーメントの式

$B$ の鉛直上向きの反力を $R$ とします。位置 $x$ の断面の曲げモーメント $M (x)$ （はりを下に凸に曲げる向きを正）を、断面より右側の部分 $[x, L]$ のつり合いから求めます。右側の部分には、 $B$ の反力 $R$ と、位置 $s$ （ $x \leq s \leq L$ ）の荷重 $w_{0} \frac{s}{L} d s$ がはたらくので
$M (x) = R (L - x) - \int_{x}^{L} w_{0} \frac{s}{L} (s - x) d s$
ここで
$\int_{x}^{L} s (s - x) d s = [\frac{s ^{3}}{3} - \frac{x s ^{2}}{2}]_{x}^{L} = \frac{L ^{3}}{3} - \frac{L ^{2} x}{2} + \frac{x ^{3}}{6}$
なので
$M (x) = R (L - x) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3}}{3} - \frac{L ^{2} x}{2} + \frac{x ^{3}}{6})$

たわみ曲線の微分方程式

たわみ $v$ を上向きを正にとると、 $E I \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} = M (x)$ です。1 回積分すると
$E I \frac{d v}{d x} = R (Lx - \frac{x ^{2}}{2}) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3} x}{3} - \frac{L ^{2} x ^{2}}{4} + \frac{x ^{4}}{24}) + C_{1}$
固定端の条件 $\frac{d v}{d x} (0) = 0$ より $C_{1} = 0$ 。もう 1 回積分すると
$E I v = R (\frac{L x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6}) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3} x ^{2}}{6} - \frac{L ^{2} x ^{3}}{12} + \frac{x ^{5}}{120}) + C_{2}$
$v (0) = 0$ より $C_{2} = 0$ 。

反力 $R$ の決定

ローラー支点の条件 $v (L) = 0$ より
$R (\frac{L ^{3}}{2} - \frac{L ^{3}}{6}) = \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{5}}{6} - \frac{L ^{5}}{12} + \frac{L ^{5}}{120})$
$\frac{R L ^{3}}{3} = w_{0} L^{4} \cdot \frac{20 - 10 + 1}{120} = \frac{11 w _{0} L ^{4}}{120}$
$R = \frac{11}{40} w_{0} L$

固定端のモーメント

$M (0) = R L - \frac{w _{0}}{L} \cdot \frac{L ^{3}}{3} = \frac{11}{40} w_{0} L^{2} - \frac{1}{3} w_{0} L^{2} = \frac{33 - 40}{120} w_{0} L^{2} = - \frac{7}{120} w_{0} L^{2}$

負号は、固定端ではりが上に凸に曲げられる（上縁が引張）ことを表します。したがって、固定端の曲げモーメントの大きさは $\frac{7 w _{0} L ^{2}}{120}$ です。

（確認: 荷重の合計は $\frac{w _{0} L}{2}$ なので、 $A$ の鉛直反力は $\frac{w _{0} L}{2} - \frac{11}{40} w_{0} L = \frac{9}{40} w_{0} L$ で、正の値になっています。）

別解

B 端の鉛直上向き反力を $R$ とする（不静定量）。位置 $x$ の断面での曲げモーメント（下に凸になる向きを正）を右側部分のつり合いから求める。分布荷重 $q (s) = w_{0} s / L$ として
$M (x) = R (L - x) - \int_{x}^{L} q (s) (s - x) d s$ 。

$\int_{x}^{L} \frac{w _{0}}{L} s (s - x) d s = \frac{w _{0}}{L} [\frac{s ^{3}}{3} - \frac{x s ^{2}}{2}]_{x}^{L} = \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3}}{3} - \frac{L ^{2} x}{2} + \frac{x ^{3}}{6})$ 。

よって $E I y^{''} = M (x) = R (L - x) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3}}{3} - \frac{L ^{2} x}{2} + \frac{x ^{3}}{6})$ （ $y$ は上向き正）。

積分し、A 端でたわみ角 $y^{'} (0) = 0$ 、たわみ $y (0) = 0$ を用いると
$E I y^{'} = R (Lx - \frac{x ^{2}}{2}) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3} x}{3} - \frac{L ^{2} x ^{2}}{4} + \frac{x ^{4}}{24})$
$E I y = R (\frac{L x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6}) - \frac{w _{0}}{L} (\frac{L ^{3} x ^{2}}{6} - \frac{L ^{2} x ^{3}}{12} + \frac{x ^{5}}{120})$ 。

B 端で $y (L) = 0$ ：
$R \cdot \frac{L ^{3}}{3} = w_{0} L^{4} (\frac{1}{6} - \frac{1}{12} + \frac{1}{120}) = \frac{11}{120} w_{0} L^{4}$ より $R = \frac{11}{40} w_{0} L$ 。
（B 端は曲げモーメントを支えないので $M (L) = 0$ は上の式で自動的に満たされている。）

固定端 A の曲げモーメント：
$M (0) = R L - \frac{w _{0} L ^{2}}{3} = \frac{11}{40} w_{0} L^{2} - \frac{1}{3} w_{0} L^{2} = - \frac{7}{120} w_{0} L^{2}$ 。
負は上に凸（はりの上側が引張）を表す。大きさは $\frac{7}{120} w_{0} L^{2}$ 。

検算: 全荷重 $W = \frac{w _{0} L}{2}$ なので A 端の鉛直反力は $W - R = \frac{9}{40} w_{0} L$ 。A まわりのモーメントのつり合い： $M_{A} = R L - W \cdot \frac{2 L}{3} = \frac{11}{40} w_{0} L^{2} - \frac{1}{3} w_{0} L^{2} = - \frac{7}{120} w_{0} L^{2}$ で一致する。

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