材料力学の問題

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。

剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 $\mathrm{OD}$ がある。左端 $\mathrm{O}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は $\mathrm{OB}=a$, $\mathrm{OC}=2a$ の位置にあり、右端 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{OD}=3a$ の位置にある（$a>0$ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。

$\mathrm{B}$ は鉛直な鋼の棒 1 で、$\mathrm{C}$ は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、$\mathrm{B}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_1$ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、$\mathrm{C}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_2$ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 $\mathrm{OD}$ は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$、棒 2 は長さ $L_2=0.7\mathrm{m}$、断面積 $A_2=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=70\mathrm{GPa}$ である。

右端 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。棒 $\mathrm{OD}$ の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 $\mathrm{D}$ の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。

水平な剛体の天井の上に 3 点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ がこの順に一直線上に並び、$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\sqrt{3}L$ である。3 本のまっすぐな棒 $\mathrm{BK}$, $\mathrm{CK}$, $\mathrm{DK}$ の上端をそれぞれ $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ で天井にピン接合し、下端を 1 点 $\mathrm{K}$ でたがいにピン接合する。3 本の棒は同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできており、断面積はどれも $A$ である。\n\n棒 $\mathrm{BK}$, $\mathrm{DK}$ の自然長は $2L$ で、この 2 本を自然長のまま下端どうしでつなぐと、その点は $\mathrm{C}$ の真下で距離 $L$ の位置にきて、各棒は鉛直と $60^{\circ }$ の角をなす。一方、棒 $\mathrm{CK}$ は製作誤差のため、自然長が $L-\Delta$（$0<\Delta \ll L$）と短くつくられてしまった。そこで、組み立てのときに 3 本の棒の下端を無理に合わせて点 $\mathrm{K}$ でピン接合した。その後、点 $\mathrm{K}$ に鉛直下向きの荷重 $P$ を加えた。\n\n荷重 $P$ を加えたあとの棒 $\mathrm{CK}$ の軸力（引張を正とする）を、$P$, $E$, $A$, $L$, $\Delta$ を用いて表せ。\n\nただし、棒は線形弾性体で、自重は無視する。変形は微小であり、棒の向きの変化は無視してよい（つり合いの式と伸びの計算には変形前の角度を用いる）。圧縮を受ける棒があっても座屈しないものとする。

長さ $4\mathrm{m}$ の水平なまっすぐなはり $\mathrm{AB}$ が、左端 $\mathrm{A}$ をピン支持、右端 $\mathrm{B}$ をローラー支持で単純支持されている。$\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{C}$ とし、区間 $\mathrm{AC}$ の全体だけに、鉛直下向きの等分布荷重 $w=6kN/m$ が加わっている（区間 $\mathrm{CB}$ には荷重がない）。はりの断面は幅 $b=60\mathrm{mm}$、高さ $h=120\mathrm{mm}$ の一様な長方形で、高さの方向が鉛直になるように置かれている。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で曲げられ、曲げ応力は単純曲げの理論（$\sigma =M/Z$）で求められるものとする。このはりに生じる曲げ応力の大きさの最大値は何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。