材料力学の問題

鉛直面内にある正三角形 $\mathrm{ABC}$ の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さはどれも $L$ である。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にある。各節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は摩擦のないピンで結合されている。支点 $\mathrm{A}$ は床にピン支持され、支点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(P>0)$ を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は $E$ である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$（$I$ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 $P$ の最大値を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

鉛直面内にある平面トラスを考える。節点の座標を、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとって次のように定める（$a>0$）。
$$\mathrm{A}(0,0),\mathrm{C}(a,0),\mathrm{D}(2a,0),\mathrm{B}(3a,0),\mathrm{E}(a,a),\mathrm{F}(2a,a)$$
トラスは 9 本の部材 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DB}$, $\mathrm{EF}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CE}$, $\mathrm{DF}$, $\mathrm{CF}$ からなり、すべての節点はなめらかなピンで結合されている。節点 $\mathrm{A}$ はピン支持、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持（鉛直方向の反力だけを受ける）で支えられている。節点 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $W$ を加える。

すべての部材は同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の中実円形断面をもつまっすぐな棒で、各部材は両端ピン支持の柱とみなせる（座屈長さは節点間の距離に等しい）。部材の自重は無視し、座屈は弾性座屈（オイラーの座屈荷重で決まる）であって、座屈より先に降伏は起こらないものとする。

どの部材も座屈しないような荷重 $W$ の最大値を、$E$, $d$, $a$ を用いて表せ。

長さ $L=1.5\mathrm{m}$、直径 $d=40\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつ鋼の柱が、鉛直に立てられている。柱ははじめまっすぐで、材料と断面は柱全体で一様である。柱の下端は床に固定（回転も変位もできない）され、上端は自由端（回転も水平方向の移動も自由）である。上端には、柱の軸にそって偏心なく鉛直下向きの圧縮荷重 $P$ を加える。鋼の縦弾性係数（ヤング率）を $E=200\mathrm{GPa}$ とし、柱の自重は無視する。柱は弾性範囲内で座屈するものとして、オイラーの理論で座屈荷重を考える。この柱の座屈荷重は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

鉛直面内にある 3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ からなる三角形のトラスがある。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、節点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にあり、$\angle \mathrm{CAB}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{CBA}=30^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$、部材 $\mathrm{AC}$ の長さは $L$ である。節点 $\mathrm{A}$ は固定したピン支点、節点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支点で支えられ、各節点は摩擦のないピンで結合されている。

3 本の部材はすべて同じ材料（縦弾性係数 $E$）でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒である。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P$ を加え、$P$ を $0$ から徐々に大きくしていく。

部材の自重は無視し、各部材は両端ピン支持の柱としてオイラーの座屈荷重で座屈するものとする（座屈の前に材料が降伏することはなく、ほかの破壊の形式は考えない）。また、トラスの変形は微小で、座屈が起こるまで節点の位置は変わらないものとする。初めていずれかの部材が座屈するときの荷重 $P$ を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

長さ $3.0\mathrm{m}$ のまっすぐな剛体の棒 $\mathrm{AB}$ が水平に置かれ、左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、$\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}=1.0\mathrm{m}$）と右端 $\mathrm{B}$ は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ $1.0\mathrm{m}$、断面積 $200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、棒 2 は長さ $1.5\mathrm{m}$、断面積 $300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ であり、鋼の縦弾性係数は $E=200\mathrm{GPa}$ とする。

はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 $\mathrm{B}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 $\mathrm{kN}$ か。