流体力学・連続体の問題

密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

直径 $d$ の円形断面をもつまっすぐな針金がある。針金はヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。針金の両端を軸方向に大きさ $F(>0)$ の力で引っ張ったところ、針金は軸方向に伸び、直径はわずかに減少した。

針金の内部では、軸方向に一様な引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。針金の重さは無視する。

直径の減少量（正の量）を、$F,d,E,\nu$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、直径 $D$ の一様な円柱形の棒がある。この棒の両端に、軸方向に大きさ $F(>0)$ の引張力を加えた。

引張応力は棒の断面内で一様に分布し、棒の側面には力がはたらかないものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。引張によって棒の直径が減少する量 $\delta (>0)$ を、$F,D,E,\nu$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた直方体がある。直方体の各辺を $x,y,z$ 軸に平行にとる。

直方体の $x$ 軸に垂直な 2 つの面を、互いに平行に固定された 2 枚の剛体の壁に接触させる。壁と直方体の間に摩擦はなく、壁は直方体の $x$ 方向の伸び縮みを完全に妨げる（$x$ 方向のひずみが $0$）。この状態で、$z$ 軸に垂直な 2 つの面に一様な圧縮応力 $p(>0)$ を加える。$y$ 軸に垂直な 2 つの面には何も力を加えない（自由表面）。直方体の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であり、重力は無視できるとする。

変形前の体積を $V$、変形による体積の変化を $\Delta V$ とするとき、体積ひずみ $\frac{\Delta V}{V}$ をひずみの 1 次の近似で $E,\nu ,p$ を用いて表せ（体積が増えるときを正とする）。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。