流体力学・連続体の問題

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。

直径 $d$ の円形断面をもつまっすぐな針金がある。針金はヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。針金の両端を軸方向に大きさ $F(>0)$ の力で引っ張ったところ、針金は軸方向に伸び、直径はわずかに減少した。

針金の内部では、軸方向に一様な引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。針金の重さは無視する。

直径の減少量（正の量）を、$F,d,E,\nu$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、直径 $D$ の一様な円柱形の棒がある。この棒の両端に、軸方向に大きさ $F(>0)$ の引張力を加えた。

引張応力は棒の断面内で一様に分布し、棒の側面には力がはたらかないものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。引張によって棒の直径が減少する量 $\delta (>0)$ を、$F,D,E,\nu$ を用いて表せ。

密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

長さ $L$、一様な断面積 $A$ のまっすぐな棒が、上端を天井に固定されて鉛直につり下げられ、自身の重さだけで静止している。棒は密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面には、その断面より下の部分の重さによる一様な鉛直方向の引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積 $A$ と変形前の長さで計算してよく、ひずみの 2 次以上の項は無視する。

自重による棒全体の体積の増加量 $\Delta V$ を、変形前の体積 $V=AL$ で割った値 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。