材料力学の問題

長さ $5\mathrm{m}$ の水平なまっすぐなはり AB が、左端 A をピン支持、右端 B をローラー支持で単純支持されている。A から右へ $1\mathrm{m}$ の点 C に大きさ $4\mathrm{kN}$、A から右へ $3\mathrm{m}$ の点 D に大きさ $6\mathrm{kN}$ の集中荷重が、どちらも鉛直下向きに加わっている。はりの自重は無視する。

はりに生じる曲げモーメントの大きさの最大値は何 $\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$ か。正確な値で答えよ。

鉛直面内にある正三角形 $\mathrm{ABC}$ の形をした 3 部材のトラスがある。3 本の部材 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さはどれも $L$ である。部材 $\mathrm{AB}$ は水平で、頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ の上方にある。各節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は摩擦のないピンで結合されている。支点 $\mathrm{A}$ は床にピン支持され、支点 $\mathrm{B}$ は水平な床の上のローラー支持で、床から鉛直方向の反力だけを受ける。節点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P(P>0)$ を加える。\n\n3 本の部材はどれも同じ材料でできた、直径 $d$ の一様な中実円形断面をもつまっすぐな棒であり、縦弾性係数（ヤング率）は $E$ である。圧縮を受ける部材は、両端をピン支持された長柱とみなし、オイラーの座屈荷重 $P_{\mathrm{cr}}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$（$I$ は断面二次モーメント）で座屈するものとする。部材の自重は無視し、部材の破壊・降伏は考えず、座屈だけを考える。\n\nどの部材も座屈しないような荷重 $P$ の最大値を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

長さ $L=1\mathrm{m}$ の片持ちはりがあり、左端 A が壁に固定され、右端 B（自由端）に鉛直下向きの集中荷重 $P=3\mathrm{kN}$ が加わっている。はりの断面は幅 $b=50\mathrm{mm}$、高さ $h=60\mathrm{mm}$ の長方形で、高さの方向に曲げを受ける（中立軸は断面の図心を通り幅の方向に平行）。はりの自重は無視し、はりは弾性範囲内で変形するものとする。

このはりに生じる曲げ応力の最大値（絶対値）は何 MPa か。整数で答えよ。

鉛直な壁の上の 2 点 A, B（A が B の真上）に、2 本のまっすぐな部材 AC, BC がピンで取り付けられ、C でもピンで互いに結合されて、壁に取り付けた 2 部材トラスになっている。部材 AC は水平で長さが $L$、部材 BC は水平と $30^{\circ }$ の角をなし、C は壁から $L$ だけ離れた位置にある。節点 C に鉛直下向きの荷重 $P$ をかける。

部材 BC は直径 $d$ の中実の円形断面をもつ一様な棒で、材料の縦弾性係数（ヤング率）を $E$ とする。部材の自重は無視し、部材 BC は両端ピン支持の長柱とみなしてオイラーの座屈荷重の式を用いる。部材 AC は十分に強く、壊れないものとする。

部材 BC が座屈しないための荷重 $P$ の上限（BC の軸力がちょうどオイラーの座屈荷重に等しくなるときの $P$）を、$E$, $d$, $L$ を用いて表せ。

長さ $3\mathrm{m}$ の一様な棒 AB（断面積と縦弾性係数は全長で一定）の両端 A, B を、動かない 2 つの壁に固定する。固定した時点では棒に力ははたらいていない。棒の上で A から $1\mathrm{m}$ の点 C に、棒の軸方向に A から B へ向かう向きの荷重 $P=60\mathrm{kN}$ を加える。棒は弾性範囲内で変形し、座屈は起こらないものとする。

棒の AC の部分に生じる軸力の大きさは何 kN か。整数で答えよ。