材料力学の問題

左右に向かい合う 2 つの剛体の壁のあいだに、長さ $300\mathrm{mm}$ のアルミニウム棒と長さ $200\mathrm{mm}$ の鋼棒を一直線に並べ、端どうしをしっかりと接合した。アルミニウム棒の左端は左の壁に固定されており、鋼棒の右端と右の壁のあいだには、はじめ $\delta =0.10\mathrm{mm}$ のすき間がある。

各棒の断面積・縦弾性係数（ヤング率）・線膨張係数は次のとおりである。
- アルミニウム棒: 断面積 $A_1=1000\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_1=70\mathrm{GPa}$、${\alpha }_1=23\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$
- 鋼棒: 断面積 $A_2=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、$E_2=200\mathrm{GPa}$、${\alpha }_2=12\times 10^{-6}{\mathrm{K}}^{-1}$

はじめ、棒には応力がはたらいていない。この状態から 2 本の棒全体の温度を一様に $50\mathrm{K}$ 上げたとき、鋼棒に生じる圧縮応力の大きさは何 $\mathrm{MPa}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、壁は変形せず、棒は軸方向にだけ伸び縮みし（座屈は起こらない）、各棒の断面には一様な軸応力が生じるものとする。棒は弾性範囲内にあり、$E_1,E_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ は温度によらず一定とする。

剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 $\mathrm{OD}$ がある。左端 $\mathrm{O}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は $\mathrm{OB}=a$, $\mathrm{OC}=2a$ の位置にあり、右端 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{OD}=3a$ の位置にある（$a>0$ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。

$\mathrm{B}$ は鉛直な鋼の棒 1 で、$\mathrm{C}$ は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、$\mathrm{B}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_1$ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、$\mathrm{C}$ の真上で棒 $\mathrm{OD}$ から高さ $L_2$ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 $\mathrm{OD}$ は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$、棒 2 は長さ $L_2=0.7\mathrm{m}$、断面積 $A_2=400\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=70\mathrm{GPa}$ である。

右端 $\mathrm{D}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加えた。棒 $\mathrm{OD}$ の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 $\mathrm{D}$ の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。

直径 $d=30\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒がある。丸棒の両端は向かい合う 2 つの剛体の壁にすき間なく固定されている。温度 $T_0$ のとき、丸棒には応力が生じていない。

この状態から、丸棒全体の温度を一様に $\Delta T=50\mathrm{K}$ 上昇させた。丸棒の線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$、ポアソン比を $\nu =0.30$ とする。

丸棒は線形弾性の範囲にあり、座屈しないものとする。壁は丸棒の軸方向の伸びだけを妨げ、丸棒の側面は自由に変形できる（半径方向の応力は $0$）。ひずみは微小とする。

このとき、丸棒の直径の増加量は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

直径 $d=20.012\mathrm{mm}$ の一様な円形断面をもつまっすぐな鋼の丸棒を、内径 $20.000\mathrm{mm}$ の穴のあいた板に通したい。板の温度は変えず、丸棒だけを一様に $20\mathrm{K}$ 冷やしたうえで、丸棒の両端に軸方向の引張荷重 $P$ を断面の中心線にそって加え、丸棒の直径をちょうど $20.000\mathrm{mm}$ まで小さくする。

鋼の縦弾性係数を $E=200\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =0.30$、線膨張係数を $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。丸棒は弾性範囲内で変形し、応力は断面内で一様（棒の端部の影響は無視）、丸棒は軸方向に自由に伸び縮みでき、荷重を加える前の断面積で応力を計算してよいものとする。必要な引張荷重 $P$ は何 $\mathrm{kN}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の水平な剛体の棒 $\mathrm{AC}$ がある。左端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。$\mathrm{A}$ から右へ $1.0\mathrm{m}$ の点 $\mathrm{B}$ と、右端 $\mathrm{C}$（$\mathrm{A}$ から $2.0\mathrm{m}$）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。

• 棒 1 は鋼製で、長さ $L_1=1.0\mathrm{m}$、断面積 $A_1=200\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_1=200\mathrm{GPa}$ である。
• 棒 2 は黄銅製で、長さ $L_2=1.5\mathrm{m}$、断面積 $A_2=300\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$、縦弾性係数 $E_2=100\mathrm{GPa}$、線膨張係数 ${\alpha }_2=2.0\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ である。

はじめ、棒 $\mathrm{AC}$ は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 $\mathrm{C}$ に鉛直下向きの荷重 $P=30\mathrm{kN}$ を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に $10\mathrm{K}$ 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 $\mathrm{MPa}$ か。整数で求めよ。

ただし、棒 $\mathrm{AC}$ と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 $\mathrm{AC}$ の回転角は十分小さく、点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。