平面に働く全圧力と圧力中心

水中の鉛直・傾いた平面（長方形・円など）に働く全圧力を $F = \int p d A = ρ g h_{G} A$ （ $h_{G}$ は図心の深さ）で求め、大気圧が両側にはたらく場合の正味の力を求められる。圧力中心は、平面に沿って水面との交線から測った距離で $y_{P} = y_{G} + \frac{I _{G}}{y _{G} A}$ （ $I_{G}$ は図心を通る水平軸のまわりの断面二次モーメント）、深さで表すと平面が水平面となす角を $θ$ として $h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G} sin ^{2} θ}{h _{G} A}$ （鉛直な平面では $θ = \frac{π}{2}$ ）として求められる

前提

静水圧の分布とパスカルの原理（大学物理流体力学・連続体）
断面二次モーメントと断面係数（大学物理材料力学）

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算数中学高校大学大学院

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断面二次モーメントと断面係数（大学物理材料力学）

説明

ダムの水門やタンクの側壁・のぞき窓のように、水中にある平らな面が水から受ける力の合計（全圧力）と、その力が実質的にどの点に働くか（圧力中心）を求められるようになります。全圧力は「図心の深さでの圧力 × 面積」 $F = ρ g h_{G} A$ で求まり、圧力中心は図心より深い位置 $h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G} sin ^{2} θ}{h _{G} A}$ にきます。水門を開けるのに必要な力や、ちょうつがいのまわりのモーメントを計算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

水面と平面（またはその延長）が交わる直線を軸 O とし、平面に沿って O から斜め下向きに距離 $y$ を測ります。平面が水平面となす角を $θ$ とすると、位置 $y$ の深さは $h = y sin θ$ です。面の両側に大気圧 $p_{0}$ が働くとき（水面も裏側も大気に開いているとき）、 $p_{0}$ の分は打ち消し合うので、正味の圧力は $p - p_{0} = ρ g h$ だけを考えればよくなります。

全圧力: 面を、O に平行な細い帯（面積 $d A$ ）に分けると、帯の上では深さが一定なので帯が受ける力は $ρ g y sin θ d A$ 。すべての帯について足すと
$F = \int ρ g y sin θ d A = ρ g sin θ \int y d A = ρ g sin θ y_{G} A = ρ g h_{G} A .$
ここで $\int y d A = y_{G} A$ は図心（面の重心）の定義そのものです。つまり全圧力は「図心での圧力 × 面積」です。

圧力中心: 力の作用点 $y_{P}$ は、O のまわりのモーメントが合うように決めます。 $F y_{P} = \int y \cdot ρ g y sin θ d A = ρ g sin θ \int y^{2} d A$ です。 $\int y^{2} d A$ は O のまわりの断面二次モーメントで、平行軸の定理により $I_{G} + y_{G}^{2} A$ 。したがって
$y_{P} = \frac{ρ g sin θ ( I _{G} + y _{G}^{2} A )}{ρ g sin θ y _{G} A} = y_{G} + \frac{I _{G}}{y _{G} A} .$
深い所ほど圧力が大きいので、作用点は図心より深い側にずれるのです。深さに直すには $h_{P} = y_{P} sin θ$ 、 $y_{G} = \frac{h _{G}}{sin θ}$ を代入して $h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G} sin ^{2} θ}{h _{G} A}$ となります（鉛直な面では $sin θ = 1$ ）。

手順

大気圧が面の両側に働くか確かめる。両側なら正味の圧力は $ρ g h$ だけ（片側だけなら $p_{0} A$ を加える）
面の面積 $A$ と図心の深さ $h_{G}$ を求める（傾いた面では $h_{G} = y_{G} sin θ$ ）
全圧力を $F = ρ g h_{G} A$ で計算する
図心を通る水平軸（水面に平行な軸）のまわりの断面二次モーメント $I_{G}$ を求める（長方形 $\frac{b h ^{3}}{12}$ 、円 $\frac{π d ^{4}}{64}$ 。 $h$ は水面との交線に垂直な、面に沿った方向の寸法）
圧力中心を $y_{P} = y_{G} + \frac{I _{G}}{y _{G} A}$ 、または深さで $h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G} sin ^{2} θ}{h _{G} A}$ として求める

例題

水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $2 m$ 、高さ $3 m$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $1 m$ の位置にある。水面と水門の裏側にはどちらも大気圧が働いている。水門に働く正味の全圧力の圧力中心の、水面からの深さ $h_{P}$ （単位 m）を分数で正確に求めよ。

例題の解答

手順 1: 大気圧は両側に働くので打ち消し合い、正味の圧力は $ρ g h$ だけを考える。

手順 2: 面積 $A = 2 \times 3 = 6 m^{2}$ 。図心は水門の高さの中央なので $h_{G} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} m$ 。

手順 3: 全圧力は $F = ρ g \cdot \frac{5}{2} \cdot 6 = 15 ρ g$ （N、 $ρ, g$ は SI 単位の値）。圧力中心の位置だけを求めるなら $ρ g$ の値は不要。

手順 4: 図心を通る水平軸のまわりで、幅 $b = 2$ 、高さ $3$ の長方形なので
$I_{G} = \frac{2 \times 3 ^{3}}{12} = \frac{9}{2} m^{4} .$

手順 5: 鉛直な面なので $sin θ = 1$ 。
$h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G}}{h _{G} A} = \frac{5}{2} + \frac{9/2}{\frac{5}{2} \times 6} = \frac{5}{2} + \frac{3}{10} = \frac{14}{5} m .$
図心（ $2.5 m$ ）より $0.3 m$ 深い。

答え: $\frac{14}{5}$

よくある誤り

全圧力の作用点を図心としてしまう誤り。深い所ほど圧力が大きいので、正しくは図心より $\frac{I _{G}}{y _{G} A}$ だけ深い $y_{P} = y_{G} + \frac{I _{G}}{y _{G} A}$ （上の例で $2.5 m$ ではなく $2.8 m$ ）
$I_{G}$ の代わりに水面のまわりの断面二次モーメントや、辺のまわりの $\frac{b h ^{3}}{3}$ を $y_{P} = y_{G} + \frac{I}{y _{G} A}$ に入れてしまう誤り。正しくは図心を通る軸のまわりの $I_{G} = \frac{b h ^{3}}{12}$ 。水面のまわりの $I_{O} = I_{G} + y_{G}^{2} A$ を使うなら $y_{P} = \frac{I _{O}}{y _{G} A}$ で、 $y_{G}$ を足さない
傾いた面で、深さ $h_{G}$ と面に沿った距離 $y_{G}$ を混同して $y_{P} = h_{G} + \frac{I _{G}}{h _{G} A}$ としてしまう誤り。正しくは面に沿った距離では $y_{P} = y_{G} + \frac{I _{G}}{y _{G} A}$ （ $y_{G} = \frac{h _{G}}{sin θ}$ ）、深さでは $h_{P} = h_{G} + \frac{I _{G} sin ^{2} θ}{h _{G} A}$
両側に大気圧が働くのに、全圧力を $(p_{0} + ρ g h_{G}) A$ としてしまう誤り。正しくは $p_{0} A$ は裏側の大気圧と打ち消し合い、正味の力は $ρ g h_{G} A$ 。また、絶対圧で圧力中心を計算すると一様な $p_{0}$ の分が図心に働くので位置がずれる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b = 2.0 m$ 、高さ $a = 3.0 m$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0 m$ の位置にあり、下端は深さ $4.0 m$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $ρ$ 、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_{G} = \frac{b a ^{3}}{12}$ である。
水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_{P}$ は何 m か。小数で求めよ。

平面に働く全圧力と圧力中心

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題